函数的奇偶性周期

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1、函数的奇偶性与周期性导学H标：1•了解函数奇偶性、周期性的含义2会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题.0自主梳理11.函数奇偶性的定义如果对于函数/U)定义域内任意一个x,都冇,则称/W为奇函数；如果对于函数心)定义域内任意一个兀，都有，贝IJ称/⑴为偶函数.2.奇偶函数的性质⑴心)为奇函数;金)为偶函数=f(~x)=f(lxl)^f(x)-x)=—•(2)/U)是偶函数o/仪)的图彖关于轴对称；心)是奇函数o/U)的图彖关于对称.(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调

2、性；偶函数在对称的单调区间内有的单调性.3.函数的周期性(1)定义：如來存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=，则称为函数，其中T称作金)的周期.若卩存在一个最小的正数，则称它为/W的・(2)性质:®fix+T)=心)常常写作.②如果T是函数y=/U)的周期，贝'Jwez且RH0)也是y=/U)的周期，即J{x+kT)=f(x).③若对于函数/⑴的定义域内任一个口变量的值x都有fix+a)=一/(兀)或沧+°)=洽或沧+°)=—亓牛(a是常数且。工0),则/(力是以为一个周期的周期函数

3、.U自我检测】1.已知函数fix)=(/n—1)x2+(m~2)x+(m2—7/n+12)偶函数，贝U加的值是A.1B.2C.3D.42.如果奇函数/U)在区间[3,7]上是增函数且最人值为5,那么您0在区间[—7,—3]上是A增函数且最小值是一5B增函数且最人值是一5C减函数且最人值是一5D减函数且最小值是一53.函数y=x—£的图象A.关于原点对称B.关于直线『=一x对称C.关于y轴对称D.关于肓线y=x对称4.已知函数兀0是(一8,+8)上的偶函数,若对于心0,都有心+2)=心)，且当x£[0,2)Ht,fi

4、x)=log2(x+l),则几一2012)+./(2011)的值为()A.-2B.-1C.1D.25.(2011-开封模拟)设函数几0=也土芈也为奇函数，贝仏=.探究点一函数奇偶性的判定。例11判断下列函数的奇偶性・/1—x1I[x2+x9x<0,(1)心)=(兀+1)丫芹；(2Mx)=x(^y+2);(3yW=log2(x+^/P+l)；(4笊兀)=(_”+兀%>0变式迁移1判断下列函数的奇偶性.()f(x)=x2-x3；=yjx2-l+yj1—X2；(3yU)=h-；3：3.探究点二函数单调性与奇偶性的综合应

5、用0例21函数y=/(x)(xH0)是奇函数，且当炸(0,+°°)时是增函数，若几1)=0,求不等式/[x(x—1)]<0的解集.变式迁移2已知函数Xx)=x3+x,对任意的;ne［-2,2］,f(mx~2)+fix)<0成立，则x的取值范围为•探究点三函数性质的综合应用U例31已知定义在R上的奇函数/W，满足f(x~4)=~f(x)f且在区间［0,2］上是增函数，若方程f(x)=加(加>0),在区间［一8,8］上有四个不同的根兀1，x2,x3,兀4，则Xi+x2+x3+x4=.变式迁移3定义在R上的函数心)是偶函

6、数，.n.f(x)=f(2-x).若金)在区间［1,2］上是减函数，则心)A.在区间［一2,一1］上是増函数，在区间［3,4］上是增两数A.在区间［一2,—1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数B.在区间［一2,一1］上是减函数,在区间［3,4］±是增函数D.在区间［一2,—1J上是减函数，在区间［3,4」上是减函数转化与化归思想的应用U例】(12分)函数.心)的定义域为D=Ulx#0｝,且满足对于任意七，x2^Df有沧

7、吠2)=心)+沧2)・(1)求人1)的值；(2)判断几对的奇偶性并证明你的结论；⑶如果几4

8、)=1,/(3x+l)+n2x—6)W3,且心)在(0,+®)上是增函数，求x的取值范围.1.正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数心)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②A—x)=—心)或n—是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(-x)=±f(x)-x)±Ax)=0=±1(A-^)0)•3.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真.利用这一性质

9、可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性.4.关于函数周期性常用的结论：对于函数几丫)，若有f(x--a)=f(x+a)f(x--a)=为常数且qH0),则yu)的一个周期为2°1.已知/U)=O?+加是定义在［d—1,2加上的偶函数，那么a+b的值为(1D.1A.—2.已知定义域为｛xlxHO｝的函数/U)为偶函数，在区间(一0)上是增函