函数单调性奇偶性周期性讲义

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1、函数的单调性与奇偶性讲义一，目的要求：(1)理解函数单调性的概念，掌握用定义的方法来判断函数在给定区间内的增减性。(2)理解函数奇偶性的概念，掌握奇偶函数的性质。(3)结合函数的单调性和奇偶性，掌握类似判断函数值大小等各类综合运用问题。二，知识要点：(1)函数的单调性设函数的定义域为，区间。如果对于上任意的两点及，当时，不等式成立，称函数在区间上是单调增加的；反之，如果对于上任意的两点及，当时，不等式成立，称函数在区间上是单调减少的。(2)函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称，即如果对于任意，则有。若等式恒成立，则称为奇函数；若等式恒成立，则称为

2、偶函数。(*注：奇函数的三个性质：1，经过原点；2，函数的图像关于原点对称；3，函数在其对称区间内有相同的增减性。偶函数的两个性质：1，函数的图像关于轴对称；2，函数在其对称区间内具有相反的增减性。)三，证明函数单调性的常用方法：作差法求导法四，例题分析：例1，，，确定其在给定区间内的单调性解：不妨假设，则，，即，是上的严格递增函数8例2，，，确定其在给定区间内的单调性解：不妨假设，则，，即，是上的严格递减函数例3，已知函数是奇函数，则的值为（）A．B．C．D．解：由已知条件可以得知：是定义在上的奇函数由奇函数的第一个性质可以得知：例4，已知偶函数

3、在上单调递增，则下列关系式成立的是()A．B．C．D．解：由偶函数的第二个性质可以得知：在上单调递减例5，判断函数的奇偶性，并指出它的单调区间.解：由已知条件可以得知：是定义在上的函数，，即，是上的偶函数。是上的分段函数，分以下几种情况讨论：(i)对，不妨假设，我们有；则即在上单调递减。(ii)对，不妨假设，我们有；则即在8上单调递增。(iii)当时，由偶函数的第二条性质可以得知：在上单调递减，在上单调递增。综上所述：在，上单调递减，在，上单调递增。五．基础训练1（2009辽宁卷）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x取值范围是()（A）（，）(B

4、)［，）(C)（，）(D)［，）2求证，是奇函数。3断函数的奇偶性4．(2007山东理4)设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（）A．，B．，C．，D．，，规律（两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇）例1已知的定义域为（0，+），单调增区间为（0，4），减区间为（4，+）分别求和的定义域和单调性82（利用奇偶性求函数值）已知且，那么3已知，，求4（2009重庆卷理）若是奇函数，则5设函数为奇函数，则实数。6（2009陕西卷）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则（A）(A)(B

5、)(C)(D)7.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（2009）的值为()A.-1B.0C.1D.28已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．　　　B．　　　C．　　　　D．9(09山东文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(D).A.B.C.D.810.（2006年安徽卷）函数满足，若．11.（2007年上海卷）函数满足关系式，则=．五提升训练1（本题满分15分）已知定义域为的函数是奇函数．(1)求的值；(2)讨论函数的单调性；（3）若对任意的,不等式恒成立，求实数的取值

6、范围．2零点问题（1）设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[-2，-1]D．[-1，0]（2）(2009山东卷)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.3已知函数是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线对称．⑴证明：是周期为的周期函数；⑵若，求时，函数的解析式．山东函数图像题主要是考察单调性，奇偶性，零点等1单调性的确定主要是求导。82奇偶性的确定可以用定义，也可以根据经验确定，例如奇函数与偶函数两两相加减为或者乘后是什么函数。3零点的确定，主要观察接近于x轴的值与0的大小

7、和当x为正无穷或者负无穷时的整体趋势1.如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数的图象可能是（）yox2．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象可能是（）oxyoxyoxyoxyABCD3.函数的图像大致是（ ）4.函数的图像大致为().1xy1OAxyO11BxyO11Cxy11DO5、设，函数的图像可能是86．(2009·福建质检)函数y＝的图象大致是(　　)8．函数的图象的大致形状是（）9.函数的图像大致为10．函数的图像大致是811.设函数.若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,,则下列

8、判断正确的是(A).当时，,(B).当时,,（C）.当时，,（D）.当时，,12.函数y＝lncosx(-＜x＜)的图象是