函数的单调性、奇偶性与周期性练习一讲义

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1、例1.已知函数f(x)=的图像关于原点对称,其中m,n为实常数｡(1)求m,n的值;(2)(2)试用单调性的定义证明:在区间上是单调函数.例2.设f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增,且满足,求实数a的取值范围｡例3.判断下列函数的奇偶性:例4.(1)是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T,则的值为(2)定义在实数集上的函数满足,,且,则是以为一个周期的周期函数.(3)已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,当x∈[-4,0]时,f(x)的表达式为.______

2、_____练习题一、选择题1.若函数,则该函数在上是A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是A.(-¥,2)B.(2,+¥)C.(-¥,-2)(2,+¥)D.(-2,2)3.给出下列函数:①,②,③,④,其中是偶函数的有第6页共6页A.1个B.2个C.3个D.4个4.函数f(x)､f(x+2)均为偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,设b=f(7.5),c=f(5),则a､b､c的大小是A.a>c>bB.a>b>cC

3、.b>a>cD.c>a>b5.若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又,则x·f(x)<0的解集是A.{x

4、33B.{x

5、x<3或0

6、对任意x∈R,均有f(x+4)=f(x),已知f(1)=3,则f(3)等于A.3B.3C.4D.411.设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=,则A.a或a<1D.1f(2x+1)的解集是14.若函数f(x)=4x3-ax+3的单调递减区间是,则实数a的值为.15.若函数是奇函数,则a=16.设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线对称,则f(1)+f(2)

7、+f(3)+f(4)+f(5)=_________.第6页共6页三､解答题17.已知f(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+,讨论F(x)的单调性,并证明你的结论｡18.设函数,(1)当k为何值时,函数f(x)单调递减区间是(0,4);(2)当k为何值时,函数f(x)在(0,4)内单调递减｡19.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值,最小值为-5｡(1)证明:f(

8、1)+f(4)=0;(2)试求y=f(x)在[1,4]上的解析式;(3)试求y=f(x)在[4,9]上的解析式｡第6页共6页(五)函数的单调性､奇偶性与周期性参考答案(三)､例题讲评例1.解:(1)由于f(x)图象关于原点对称,则f(x)是奇函数,由得例2.∵为R上的偶函数,∵在区间上单调递增,而偶函数图象关于y轴对称,∴在区间(0,+∞)上单调递减,∴实数a的取值范围是(-4,1).例3.(1)函数定义域为R,,∴f(x)为偶函数;(另解)先化简:,显然为偶函数;从这可以看出,化简后再解决要容易得多.(2)须要分两段讨论:①设②设③当x=0时f(x)=0,也满足f(

9、-x)=-f(x);由①､②､③知,对x∈R有f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数;(3),∴函数的定义域为,第6页共6页∴f(x)=log21=0(x=±1),即f(x)的图象由两个点A(-1,0)与B(1,0)组成,这两点既关于y轴对称,又关于原点对称,∴f(x)既是奇函数,又是偶函数;例4(1)选B;(2)4;提示:(3)由条件可以看出,应将区间[-4,0]分成两段考虑:①若x∈[-2,0],-x∈[0,2],∵f(x)为偶函数,∴当x∈[-2,0]时,f(x)=f(-x)=-2x-1,②若x∈[-4,-2,∴4+x∈[0,2,∵f(2+