关于两球正碰的机械能损失量、碰后速度范围的相关讨论

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1、证明Ι:两小球正碰，完全非弹性碰撞动能损失最大的证明（利用初等函数证明）在碰撞中，系统动量守恒。但动能损失不一样。完全弹性碰撞，碰撞前后，系统总动能不损失。非弹性碰撞，损失一部分动能。两个物体碰撞后，不分开，以同一速度运动，叫做完全非弹性碰撞。此时动能损失最大。下面是证明过程。条件：质量m1，速度v1，与质量m2，速度v2物体发生碰撞，碰后，m1速度变为v1/，m2速度变为v2/。由动量守恒：m1v1+m2v2=m1v1/+m2v2/……（1）损失动能：……（2）令p=m1v1+m2v2，，，p和E1确定，只需证明E2最小的条件，即可得到最大的动能损失

2、的条件。利用（1）式可得：……（3）将（3）带入E2，得：，可见分子部分为关于v1/的函数。令……（4）只需求出的最小值即可。二次函数开口向上，顶点坐标值对应最小。即当时，最小，则此时E2最小，△E最大。将v1/带入（3）式得：。即：碰撞后两物体不分开以相同速度运动，损失的动能最大。得证。拓展：可以对（4）式求导，找极值，更容易得到证明。此处略。关于正碰中一动碰一静，被撞球速度v2的取值范围的讨论由动量守恒：m1v0=m1v1+m2v2……（1）能量关系：……（2）（Q为过程中损失的机械能）由（1）得：……（3）将（3）带入（2）式：，整理可得：……（

3、4）根据求根公式：可得：将v2带入（3）式，可得：讨论Ⅰ——根的合理性：若：，则，，v1速度方向与原方向相同，且大于v2，不符合碰撞的合理性原则，将这组根舍去。结论：……（5），……（6）讨论Ⅱ——发热量Q与v2的取值范围：（5）（6）式可得m1、m2，v0一定时，对于不同类型的碰撞，Q将不同：①弹性碰撞时Q=0，带入（5）（6）可得：，②当发生完全非弹性碰撞时，可由上篇证明Ι得到，Q的最大值：……（7）在这里，从另一个角度来确定Q的最大值，由（5）（6）碰撞一定存在一个合理的v1与v2，即：……（8）……（9）不等式（8）（9）式化简后实为同一不等式

4、，有共同的解：，可得：，此时v1=v2，即发生了完全非弹性碰撞，此时机械能损失最大（一动碰一静的情况下符合证明Ⅰ的结论。）结论：对0≤，故在（5）式中Q越大，v2越小。故v2的取值范围为：其中完全非弹性碰撞Q最大时，v2最小，弹性碰撞时Q=0，v2最大。