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《群论 第1章 群论基础(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、目录第1章群论基础11.1基本概念.....................................11.1.1群的定义.................................11.1.2群的乘法.................................11.1.3群的生成元...............................31.1.4更多例子.................................41.1.5半群,环和域*..............................41.2群的分拆...
2、..................................51.2.1集合的分拆...............................51.2.2共轭类..................................61.2.3子群和陪集...............................71.2.4Lagrange定理..............................71.2.5不变子群和商群.............................81.2.6双陪集*....................
3、.............91.3群的分类.....................................91.3.1同态和同构...............................91.3.2同态基本定理..............................101.3.3其它的同态定理*............................111.4群在集合上的作用................................121.4.1置换群..................................121.4
4、.2置换可表示为轮换的乘积.......................151.4.3置换群的共轭类.............................161.4.4置换表示.................................171.4.5轨道...................................181.5群的直积.....................................191.5.1直积...................................201.5.2半直积............
5、......................201.6有限群的分类定理*...............................211.6.1Abel群的分类..............................211.6.2非Abel群的分类.............................221.6.3小阶群表.................................22参考文献25文件生成时间:2013年9月28日试用讲义.请不要在网上传播.第1章群论基础§1.1基本概念§1.1.1群的定义定义1(群)设G是一些元素的
6、集合,G={g,h,···}.在G中已经定义了二元运算·,如果G对这种运算满足以下四个条件,•封闭:∀f,g∈G,f·g∈G;•结合律:∀f,g,h∈G,(f·g)·h=f·(g·h);•存在唯一的单位元素:∃e∈G,∀f∈G,ef=fe=f;•有逆:∀f∈G,∃唯一的f−1∈G,f·f−1=f−1·f=e,则称代数结构(G,·)是一个群,二元运算“·”称为群的乘法.二元运算是一种映射,φ:G×G7→G,φ(f,g)=h⇐⇒f·g=h.在不引起歧义的情况下,我们会省略乘法符号.群G的元素个数称为群的阶(order),记为
7、G
8、.根据群的元素个数,可以将
9、群分为有限群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限).在无限群中,连续群可以用一个或多个实参数来标记群的元素.另一种对群的分类方式,是按照群的乘法是否可以交换位置.定义2(Abel群)G是群,并且满足∀a,b∈G,ab=ba,(1.1.1)则称群G是Abel群.Abel群的乘法一般又称为加法.例1实数的集合按数值加法运算(R,+)构成Abel群.例2非零实数的数值乘法(R{0},*)构成Abel群.例3n-维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel群GL(n,C).§1.1.2群的乘法有限群的乘法规则可以用乘法表来表示.一元群{e}的乘法规则为ee=
10、e.对于二元群G={e,a},有ee=e,ea=a,ae=a.a2def=aa有两种可能,•a
