应用代数07-群论基础

《应用代数07-群论基础》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、群论基础王远波西南交通大学电气工程学院1半群定义：设S是一个非空集合，若S上存在一个二元运算，构成代数结构(S，),且满足结合率，则说S是一个半群有单位元的半群，称为含幺半群2例整数的集合Z在通常加法＋意义下构成半群(Z,+)，含有单位元0整数的集合Z在通常乘法×意义下构成半群(Z,×)，含有单位元1偶数的集合E在通常加法＋意义下构成半群(E,+)，含有单位元0偶数的集合E在通常乘法×意义下构成半群(E,×)，不含单位元奇数的集合O在通常乘法×意义下构成半群(E,×)，含单位元1奇数的集合O在通常加法＋意义下不构成半群，不封闭

2、3例任意非空集合S到其自身的全体函数的集合SS在函数合成运算下构成半群，恒等函数是该半群的单位元任意集合S的幂集P(S)在集合的交（并）运算下构成半群设Mn×n(R)为实数域R上所有n阶方阵的集合，×表示通常矩阵的乘法运算，(Mn×n(R),×)是半群，且单位阵E为其单位元4有限半群如果半群(S,)中集合S含有有限多个不同的元素，称之为有限半群否则称为无限半群定理：有限半群(S,)一定含有等幂元S有限，可表示为S={x1,x2,…,xn}任取xiS，其幂构成集合{xin

3、nZ+}S(运算封闭)S有限→在xin，nZ+中

4、必有2个相等设xik＝xil，且k>l。令p=k-l→xipxil=xip+l=xik=xil5因p1，取正整数m，使mpl考虑元素y=ximp，显然ySy=ximp=ximp-lxil=ximp-l(xipxil)=(ximp-lxip)xil=xi(m+1)p-lxil=xi(m+1)p-l(xipxil)=(xi(m+1)p-lxip)xil=xi(m+2)p-lxil=…=xi(m+m)p-lxil=xi(m+m)p=ximpximp=yy即yS是等幂元6定理：在半群(S,)中，任取

5、n(n3)个元a1,a2,…,an，只要不改变元素次序，任一计算方法所的结果均相同半群的二元运算通常叫做乘法，可以将ab简记为ab定义：在半群(S,)中，符号an(n是自然数)表示S中n个a的计算结果，即an=aaa…a(n个)在S中指数律成立：对于任意自然数m,n，任意aS，有aman=am+n；(am)n=amn半群的性质7交换半群定义：如果半群(S,)的乘法运算满足交换率，即a,bS，ab=ba，则称(S,)是一个交换半群定理：在交换半群(S,)中，任意n个元的积可以任意交换次序，所的结果相同可交换

6、半群的另一个指数率：(ab)n=anbn对于可交换半群(S,)的运算常用“+”表示，这时ab记为a+b，称作a,b的和。并na=a+a+…+a(共n个)8定义：设S是一个半群，如果存在元素eS，aS：ea=a，那么就说e是S的一个左单位元。如果存在元素uS，aS：au=a，那么就说u是S的一个右单位元。S的一个单位元既是左单位元，又是右单位元，则称之为S的单位元。一个半群可以既没有左单位元，也没有右单位元，也可以有左单位元而没有右单位元，也可以有有单位元而没有左单位元。单位元9单位元的性质定理：设半群(S,)有左

7、单位元e，又有右单位元f，则e=f是S的唯一的单位元。证：e是左单位元ef=ff是右单位元ef=e既f=e是S的单位元假设S有两个单位元e1,e2，则e1e2=e1=e2故S只能有一个单位元。10半群(2A,)有单位元A，(2A,)有单位元。(2A为A所有子集的集合)A是一个非空集合，A到A的一切映射的集合AA，关于映射的合成作成一个半群(AA，)有单位元IA自然数集N的普通加法构成半群(N,+)，没有单位元自然数集N的普通乘法构成半群(N,×)，有单位元11子半群定义：如果半群(S,)的子集S1关于作成一个半群，

8、那么就说S1是S的一个子半群S的非空子集S1只要对封闭，则(S1,)作成S的一个子群若(S,)是可换半群，则其子半群(S1,)也是可换半群(S,)有单位元，(S1,)未必有单位元，有也未必相等12例例：设(Z)n表示一切元素为整数的n阶方阵的集合，则(Z)n对于方阵乘法作成一个半群，(Z)n有单位元I命子集T={(aij)

9、(aij)(Z)n，ij:aij=0}，则T对于方阵乘法封闭，故T是(Z)n的一个子半群，但T没有单位元。命子集S={(aij)

10、(aij)(Z)n,ain=anj,i,j=1,2,…,n}

11、,则S是(Z)n的一个子半群，S有单位元In-1In13半群的逆元定义：设(S,)是有单位元e的半群，S中的元素a叫做右可逆的(或右正则的)，若存在a’S使aa’=e。a’叫做a的一个右逆元。叫叫做左可逆的，若存在a”S，使a”a=e。a”