近世代数基础-第二章--群论.doc

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1、第二章群论群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是：一、群在的定义及其基本性质七、循环群；二、单位元、逆元、消去律；八、子群；三、有限群的另一定义；九、子群的陪集；四、群的同态；十、不变子群、商群；五、变换群；十一、同态与不变子群。六、置换群；§2.1群的定义●课时安排约1课时●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35群的思想：第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算

2、。定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件:（1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。（2）（G，·）有左单位元，且G中每个元有左逆元；（3）（G，·）有右单位元，且G中每个元有右逆元；（4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。定义：对a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。例1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一

3、个群。例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。习题选讲：P381，3●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。●布置作业P351，3（2）●教学辅导10一、掌握三个基本概念（1）群的最本质的特点（2）群的思想方法主要体现在包含的方面。（3）代数系充（G，·）是群当且仅当（i）结合律成立（ii）方程ax=b，ya=b在G中有解，其a,b∈G.二、精选习题：

4、（1）在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)（2）设（G，·）为半群，如果方程ax=b与ya=ba,b∈G在G中有解，（不要求唯一性）则G（）。A、也作成群B、还是半群C、不一定是群（3）设Z为整数集，定义规则aob=a+b-2，a,b∈Z证明Z对规则“o”是群§2.2单位元、逆元、消去律●课时安排约1课时●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P35-38定理1：在一群G里存在一个并且只存在一个元e，能使ea-ae=a，对于G的任意元a都对。定义：一个群G的唯一的

5、能使ea=ae=a（a是G的任一元）的元e叫做群G的单位元。定理2：对于群G的每一个元a来说，在G里存在一个而且只存在一个元a-1，能使：a-1a=aa-1=e定义：唯一的能使a-1a=aa-1=e的元a-1叫做元a的逆元（有时简称逆）例1：全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是零，元a的逆元是-a。定义：群G的一个元a，能使得am=e的最小的正整数m叫做a的阶。例3：G刚好包含x3=1的三个根1，ε1=,ε2=,对于普通乘法来说成一个群，求这群的单位元，且每一元的逆元。定理3：一个群的乘法适合III'消去律：若ax=x',那

6、么x=x',若ya=y'a，那么y=y'●教学重点单位元、逆元、消去律、元的阶，并且利用这些概念。●教学难点群的判定常用的方法。且半群中消去律与元的可逆性之间的关系和定理的证明（例3）●习题选讲P381，3●教学要求10理解单位元、逆元、元的阶的定义，初步地掌握利用单位元、逆元、元阶的定义证明有关的性质和定理。●布置作业P382，4参考教材中：P1114，7●教学辅导一、掌握三个基本概念。在半群中消去律与元的可逆性之间的关系。在半群中，消去律成立是每一个元可逆的必要条件，但不是充分条件，对于一个有限半群来说，消去律成立则是每个元可逆的充要条件。二、关于群

7、的元素的阶1）关于判定元素幂相等的条件（元a的阶证为

8、a

9、）当

10、a

11、=n时，aP=ag<=>n/P-g当

12、a

13、=∞时，aP=ag<=>P=g三、精选习题（侧重概念、技巧性的基本题）1、设（G，·）是半群，满足G有右单位元e：ae=a,a∈G；2、设（G，·）为半群，满足，G中每一个元素a都有右逆元素a'：aa'=e§2.3有限群的另一定义●课时安排约1课时●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P38-40定理：一个有乘法的有限集合G，若是适合I，II和III'，那么它也适合III。有限群的另一定义：一个有乘法的有限不空集合G作成一个群，假如I，III，III

14、'能被满足。例：G={所有不等于零的整数}对于普通乘法来说这个G适合I，II，I