近世代数学习系列二十二 群论与魔方

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1、群论与魔方：群论基础知识要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(GroupTheory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(AbstractAlgebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。群的基本定义设有一个集合G和G上的「二元运算」(BinaryOperation)「•」。如果G的元素和「•」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G,•)构成一个「群

2、」(为了行文方便，有时可以把「群(G,•)」径直称为「群G」)：1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a•b∈G。2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a•b)•c=a•(b•c)。3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e(称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e•a=a•e=a。4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a−1(称为a的「逆元」)，使得a•a−1=a−1•a=e。请注意由于「•」满足结合性，

3、在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a•b•c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a•a•a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0=e，a−n=(a−1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a−1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a•b)也是G的元素，因此我们也可以谈论(a•b)的逆元，而且这个逆元满足(a•b)−1=b−1•a−1     (1)第6页共6页如果(G,

4、•)还满足「交换性」(Commutativity)，即对G中任何两个元素a、b而言，a•b=b•a，我们便说(G,•)是「交换群」(CommutativeGroup)或「阿贝尔群」(AbelianGroup)。此外，如果在G中存在一个元素g使得对G中任何元素a，都有a=gn，其中n为0、正整数或负整数，我们便说(G,•)是「循环群」(CyclicGroup)。在此情况下，我们说G由g生成，记作G=，其中称为g的「生成集合」(Span)，其定义为={gn:n是整数}，我们也说g是G的「生成元」(Generato

5、r)。举例说，如果我们把G定为整数集Z，把「•」定为整数的加法「+」，那么容易验证(Z,+)构成一个交换群，这个群的「单位元」是0，对每个整数n而言，其「逆元」就是其负数−n。而且(Z,+)也是一个循环群，其生成元就是1，因为Z中的元素要么是0，要么是正整数，要么是负整数，而对任何正整数n而言，我们有n=1+1+...1(共n个1)，以及−n=(−1)+(−1)+...(−1)(共n个−1)。由此我们有Z=<1>。类似地，如果我们把G定为非零实数集R*，把「•」定为实数的乘法「×」，那么容易验证(R*,×)也构成一个交换群，这

6、个群的「单位元」是1，对每个非零实数x而言，其「逆元」就是其倒数1/x。但(R*,×)不是一个循环群，因为我们无法找到R*的生成元。「群」是一个非常广泛的概念，其定义中的集合G的元素可以是各式各样的对象，除了上述较为具体的整数／非零实数外，还可以是某些抽象数学对象，例如「几何变换」。以下介绍一种特殊的几何变换－「对称变换」，即可保持几何图形的形状不变的变换，以下图为例：第6页共6页上图显示一个等边三角形的三个顶点A、B、C以及三条对称轴。上图共有以下六种对称变换：恒等变换(IdentityTransformation，记作I，

7、即不作任何变换，亦等同于逆时针旋转0°)、逆时针旋转120°(记作R)、逆时针旋转240°(记作R2)、以通过三角形上方顶点(即上图中的A点)的轴为对称轴的反射(记作RA)、以通过三角形左下方顶点(即上图中的B点)的轴为对称轴的反射(记作RB)、以通过三角形右下方顶点(即上图中的C点)的轴为对称轴的反射(记作RC)(注1)。我们可以把上述六种对称变换组成一个集合，记作S3(下标"3"代表三角形)。这个集合中的元素有一种二元运算，称为「复合」(Composition)，记作「•」。两个变换的「复合」就是先后进行该两个变换，举例说

8、，RA•R2便代表先以通过A点的轴为对称轴进行反射，然后逆时针旋转120°(注2)。基于上述定义，容易推出(S3,•)构成一个群，称为「对称群」(SymmetryGroup)。首先，任何两个对称变换的复合显然也是一个对称变换，例如RA•R2=RB，因此「•」满足封闭性。其次，