近世代数学习系列三环

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1、环简介一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，它就称为环。整数集Z就构成一个（数）环。　　在20世纪，数学家们开始研究一种新型结构叫“环”。环是一个集合，其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来：　　1.若a和b都是环中的元素，那么a+b也是环中的元素；　　2.加法符合结合律：若a、b和c都属于这个环，那么a+(b+c)=(a+b)+c；　　3.在环

2、中存在一个类似于0的元素－－甚至也可以称它为0－－具有性质：对于环中的任一元素a，有0+a=a；　　4.对于环中的每个元素a和b，a+b=b+a都成立。　　在环中，还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算，它具有下面两个性质：　　1.若a和b属于环，那么它们的乘积ab也属于环；　　2.若a、b和c属于环，那么结合律成立：a(bc)=(ab)c。　　环的乘法通常不满足交换律（ab=ba一般不成立），而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。各种n×n矩阵的集合连同运算选出来，就形成一个具体的环的例子。　　在20世纪的前30多年中，由于德国数学家诺特(

3、EmmyNoether，1882-1935年）的工作，环的结构的研究变得非常重要。第11页共11页环论往往相当抽象。虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素，但是由于他们对矩阵的理解非常深刻，给出了许多卓有成效的解释，所以有时把一个特殊的环表示成一个n×n矩阵的集合。这类矩阵表示，不仅能使数学家们把环理解成具体的，甚至是可以计算的问题，而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想。这种用矩阵集合表示环或群的方法，已经成为了当代数学、物理学，以及理论化学的一个重要组成部分。　　____摘自：《代数学－集合、符号和思维的语言》[美]约

4、翰·塔巴克著，商务印书馆，2007年7月第1版环的定义　在非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足：　　1）集合R在加法运算下构成Abel群。　　2）乘法有封闭性，即对任何a∈R,b∈R，有ab∈R。　　3）乘法分配律与结合律成立，即对任何a∈R，b∈R和c∈R，有　　a(b+c)=ab+ac　　(b+c)a=ba+ca　　(ab)c=a(bc)　　我们则称R是一个环。一个环同样有几个最基本的性质：　　对于任何的a∈R和b∈R,有　　①aŸ0=0Ÿa=0。　　②a(-b)=(-a)b=-ab。　　一个具有两种二元运算的代数系统。设在集合R中已

5、定义了加法与乘法，而R在加法下是一个交换群,且乘法对加法有分配律，则R称为一个非结合环。此时R中就有唯一的零元素θ，使得对α∈R恒有α+θ=α；R中每个α有唯一的负元素-α,使α+(-α)=θ,可简记α+(-b)为α-b。分配律可推广为：α(b±с)=αb±αс，(b±с)α=bα±сα；用数学归纳法可证　　  公式第11页共11页　在非结合环R中恒有：αθ=θα=θ；α(-b)=(-α)b=-αb；(-α)(-b)=αb；(nα)b=α(nb)=nαb,其中α、b为R中任意元素，n为任意整数。如果非结合环R还具有性质:α2=θ（α∈R），且雅可比恒

6、等式成立，即在R中恒有(αb)с+(bс)α+(сα)b=θ，那么R称为一个李环。如果非结合环R的乘法适合交换律，且在R中恒有(αα)b　　α=(αα)(bα)，那么R称为一个若尔当环。在非结合环的研究中,李环与若尔当环是内容最丰富的两个分支。如果非结合环R的乘法适合结合律，那么R称为一个结合环或环。如果在环R中再规定如下的一个新乘法“。”（称为换位运算）：α。b=αb-bα，那么R对原来的加法与新有的乘法是一个李环；若规定的新乘法为“·”（称为对称运算）:α·b=αb+bα，则R便成一个若尔当环。设S是非结合环R的一个非空子集，若对于R的加法与乘法

7、，S也构成一个非结合环，则S称为R的一个子环。一个真正的非结合环（即其中有三个元素在相乘时不适合结合律）的一个子环，有可能是一个结合环。非结合环R的若干个子环的交，仍是R的一个子环。当T为R的一个非空子集时，R中所有含T的子环的交显然是R中含T的最小子环,称之为R的由T生成的子环。如果非结合环R中任意三个元素生成的子环恒为结合环,那么R已经是一个结合环；如果R中任意两个元素生成的子环恒为结合环,那么R称为一个交错环;如果R中任意一个元素生成的子环恒为结合环,那么R称为一个幂结合环。在幂结合环中，第一、第二指数定律即　　  公式第11页共11页　恒成立

8、。如果一个交错环的乘法还适合交换律，那么它称为一个交错交换环。在交错交换环中，不仅有第一、第二指数定律成立，