资源描述：
《群论-群论基础》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐群论教材与参考书教材：自编参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第第章一章群论基础群的基本概念和基本性质§1.1集合与运算§1.2群的定义和基本性质§131.3子群及其陪集§1.4群的共轭元素类§1.5正规子群和商群§161.6直积和半直积§1.7对称群§1.8置换群群论-群论基础-集合与运算§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：CAC=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的一对有序元”，也称为A和B的直乘，
2、用符号表示即：设A={a,a,…,a,…}，B={b,b,…,b,…}，则集合12i12jC=A×B={(a,b)
3、a∈A,b∈B}是A与B的直乘。ijij群论-群论基础-集合与运算2映射定义：设A与B是两个集合，若有一种规则f，使得A的每一个元素在B上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f就称为A到B的一个映射，记为f：A→B或写为f：x→yyf=f(x),式中y称为x在B上的象，而x称为y在A上的原象。对应规则：函数群论-群论基础-集合与运算满射单射一一映射逆映射：f-1恒等映射：e变换：体系A的一个自身映射f称为A的一个变换，若f是一一映射，则称为对称变换。一一变换有性质：ff
4、-1=f-1f=e群论-群论基础-集合与运算3二元运算定义：若对A上的每每对一对有序元(a,ba,b)，在A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R使得A×A→A，则R称为A上的一个二元运算，记为R：A×A→A，或R：(a,b)→c=R(a,b)一般记为c=a·b，或c=ab。二元运算一般也称为“乘法”——数值加法数值乘法对称操作……群论-群论基础-集合与运算A乘法表lmOBCkD3eabklmeeabklmaabemklbbealmkkklmeabllmkbeammklabe群论-群论基础-集合与运算4同态和同构设A和B是两个不同集合，其中分别定义了乘法·和×，若有满射f，使得对于y
5、=f(x),y=f(x)来说，iijjf(x·x)=f(x)×f(x)——即像的乘积=乘积的像ijij则称f为A到B的同态，记为A~B同态映射若是一一映射→同构同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号数学上，同构即是同一→1:1例如：C={e=a4,a,a2,a3}→G={1,i,-1,-i}4群论-群论基础-集合与运算物理上，同构的集合有分别：C={e,c}和C={e,c}22ii同态：A到B的等比例缩小保持了乘法结构→3:1例如：C={e,a,a2,a3}→G'={1{1,-1}4二对一的同态群论-群论基础-群的定义和基本性质§1.2群的定义和基本性质什么是群？1定义G={
6、e,g,…,g,…}是一个集合，其中定义了乘法。如果对2i于所定义的乘法，以下四个条件成立，则集合G称为群：1)闭合律：gg∈G,g,g∈Gijij2)结合律：g(gg)=(gg)g,g,g,g∈Gijkijkijk3)存在单位元：ge=eg=g,g∈Giiii4)存在逆元素：g∈G，g-1∈G，使得gg-1=g-1g=eiiiiii广群，半群，幺半群群论-群论基础-群的定义和基本性质2群的例子1){1}：只含一个元素的群,1即是单位元e。2){1，-1}：这个集合对普通乘法构成一个群。{e，I}：e为恒等操作，I为反演操作；乘法：变换合成。3){1，i，-1，-i}：四个
7、元素的集合对普通数值乘法构成群。{e,a,b,c}：乘法定义为：a2=b2=c2=e,ab=c,bc=a,ca=b，其中乘法可交换次序。4)全体实数对普通加法构成群。除0之外的所有实数对普通乘法构成群。5)全体n阶非奇异方矩阵的集合对矩阵的乘法构成群。6)D群。3群论-群论基础-群的定义和基本性质3一些基本概念1)阿贝尔群：可交换群2)有限群：可给出群表3)无限群：离散群，连续群4)群元素的阶：gn=e群阶：
8、G
9、5)生成元：通过乘法产生群G的最小子集6)循环群：一个生成元群论-群论基础-群的定义和基本性质4一些基本性质设G={g}是是个群一个群i¢g,g∈G,方程gx=g，xg=
10、g有唯一解ijijij(g-1)-1=gii(gg)-1=g-1g-1ijji¢单位元唯一；逆元素唯一¢若群G={e,g,…,g,…}与群G'={e',g',…,g',…}同2i2j态或同构，则：G的单位元e的象是G'的单位元e'g∈G，设g的象是g'，则g的逆元g-1的象是g'-1群论-群论基础-群的定义和基本性质有限群重排定理设G是个是一个N阶群，则G的每一个元素在群表的每一行以及每一列中出现且只出现一次。推论若f是群元的任意函数，则有NN∑∑fg(
