群论-5 群论与量子力学.ppt

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1、物理学中的群论主讲翦知渐——群论与量子力学群论-群论与量子力学§5.1哈密顿算符群和相关定理§5.2微扰引起的能级分裂§5.3久期行列式的块对角化§5.4矩阵元定理与选择定则第五章群论与量子力学量子力学中的群论应用群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理§5.1哈密顿算符群和相关定理量子体系对称性的表达1)哈密顿算符的对称性设Ĥ(r)为哈密顿算符，g为同一坐标中的线性变换，Pg为与之对应的函数变换算符：Pgf(r)=f(g-1r)，f(r)为任意函数量子体系的许多内在性质与其对称性是联系在一起的通过剖析量子体系的对称群，可以将量子力学的许多问题用群论来处理

2、1哈密顿算符群返回故有（因f(r)为任意函数）有变换算符作用在哈密顿量上的结果群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理即当哈密顿算符Ĥ(r)在函数变换算符的作用下不变时，Ĥ(r)与Pg对易：若坐标经过变换g作用后，哈密顿算符的形式不变即：假定r'=gr，而有Ĥ(gr)=Ĥ(r')=Ĥ(r)，则可得例如，氢原子的哈密顿算符在绕过原点的任意轴转动时保持不变，但在平移变换下会发生改变；晶体的单电子哈密顿算符，在周期性平移算符作用下不变2)哈密顿算符群定义1：所有保持系统哈密顿算符Ĥ(r)不变的变换{g}组成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符的对称群，或薛定谔方程

3、的对称群：很容易证明这确实是一个群群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理定义2：由哈密顿算符群的元素对应的函数变换算符组成的集合构成群，也称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为PG={Pg

4、g∈GH}定理1哈密顿算符Ĥ的具有相同本征能量的本征函数，构成哈密顿算符群表示的基函数以下三个定理揭示了群的表示理论与量子力学的内在联系3)哈密顿算符的本征函数与群表示的基函数哈密顿算符群中的任意元素与哈密顿算符对易函数变换算符集{Pg}与{g}一一对应，而且保持同态关系——{Pg}与{g}同构证明：设哈密顿算符Ĥ的本征能量En为l重简并则存在l个线性无关的本征函数φi

5、，(i=1，2，…l)，以它们为基构成复数域上的线性空间，记为WH群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理这说明Pgφi(r)仍旧为本征值En的本征函数，因此Pgφi(r)可以用l个基函数展开，即由PgĤ=ĤPg，可得：Ĥ(r)[Pgφi(r)]=En[Pgφi(r)]可以证明WH为哈密顿算符群的表示空间：∀Pg∈PG，有PgĤ(r)φi(r)=PgEnφi(r)这样得到的矩阵集合{D(g)}是薛定谔方程群的一个表示很容易证明其满足同态关系：若PsPt=Pst，则D(s)D(t)=D(st)l个基矢张成的本征函数空间作为哈密顿算符群的表示空间，生成了群表示

6、{D(g)}，本征函数φi(i=1，2，…l)是表示空间的基函数因此，在不知道能量本征值的具体数值时，我们可以利用系统的对称性来确定能级的简并度及本征函数的变换性质群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理定理5.2：如果不存在偶然简并，构成哈密顿算符群不可约表示的Ĥ的本征函数属于同一能级。证明：使用反证法。设Ĥ(r)的l个本征函数φi(α)(i=1，2，…l)，构成哈密顿算符群的第α个不可约表示1)假定φi(α)(i=1,2，…l)分属于l个不同的能级Ei(i=1，2，…l)，则有：Ĥ(r)φi(α)(r)=Eiφi(α)(r)，两边以Pg作用（Pg∈PG

7、），有PgĤ(r)φi(α)(r)=EiPgφi(α)(r)=而PgĤ(r)φi(α)=Ĥ(r)Pgφi(α)==群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理即：上式两边乘以φk(α)*，并对整个空间积分，利用基函数的正交性可得：EiDki(α)(g)=EkDki(α)(g)，即(Ei-Ek)Dki(α)(g)=0由于Ei≠Ek，故Dki(α)(g)=0，即D(α)(g)为对角矩阵——是可约表示——与假设矛盾故φi(α)基函数不可能分属于l个不同本征值2)若该l个不可约表示基函数分属于m个不同的能级，同样有(Ei-Ek)Dki(α)(g)=0它说明矩阵D(α)

8、(g)为包含m个子矩阵的块对角矩阵，因而是可约表示，与假设矛盾。由1)和2)，构成哈密顿算符群不可约表示的基函数属同一能级群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理也可以这样来表述定理5.2：设某一能级En的简并度是f，则存在f个简并本征函数{φni，i=1，2，…f}，它们可以生成一个f维的不可约表示为什么表示不可约？假如将所有的Pg作用于某个本征函数φni上，得到m个独立的函数，则m不能大于f，否则与能级是f度简并矛盾；m也不能小于f，否则说明除了{g}之外还有某个变换h，使得Phφni也是属于能级En的本征函数，而且与以上获得的m个独立函数是线性无关的

9、，这样h也是体系的一个对称变换，而且h