2019版高中数学人教A版必修4：第三章检测A 含解析

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1、第三章检测(A)(时间:90分钟　满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知cos(α+β)+cos(α-β)=13,则cosαcosβ的值为(　　)A.12B.13C.14D.16解析:由题意,得cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=2cosαcosβ=13,所以cosαcosβ=16.答案:D2.sin47°cos43°+sin137°sin43°等于(　　)A.0B.1C.-1D.12解析:sin47°co

2、s43°+sin137°sin43°=sin47°cos43°+cos47°sin43°=sin90°=1.答案:B3.函数y=3sinx-33cosx的最大值是(　　)A.3+33B.43C.6D.3解析:y=3sinx-33cosx=6sinx-π3,则最大值是6.答案:C4.若tanα=2tanπ5,则cosα-3π10sinα-π5=(　　)A.1B.2C.3D.4解析:∵cosα-3π10=cosα+π5-π2=sinα+π5,∴原式=sinα+π5sinα-π5=sinαcosπ5+cosαsinπ5sinαcosπ5

3、-cosαsinπ5=tanα+tanπ5tanα-tanπ5.又∵tanα=2tanπ5,∴原式=2tanπ5+tanπ52tanπ5-tanπ5=3.答案:C5.函数f(x)=1-2sin2x+π4,则fπ6=(　　)A.-32B.-12C.12D.32解析:f(x)=1-2sin2x+π4=cos2x+π4=cos2x+π2=-sin2x,则fπ6=-sin2×π6=-sinπ3=-32.答案:A6.已知sin(30°+α)=35,60°<α<150°,则cosα=(　　)A.3-4310B.3+4310C.3±4310D.

4、4±3310解析:∵60°<α<150°,∴90°<α+30°<180°.∵sin(30°+α)=35,∴cos(30°+α)=-1-352=-45,则cosα=cos[(30°+α)-30°]=cos(30°+α)cos30°+sin(30°+α)sin30°=-45×32+35×12=3-4310,故选A.答案:A7.设α∈0,π2,β∈0,π2,且tanα=1+sinβcosβ,则(　　)A.3α-β=π2B.3α+β=π2C.2α-β=π2D.2α+β=π2答案:C8.已知sinα-cosα=2,α∈(0,π),则tanα

5、=(　　)A.-1B.-22C.22D.1解析:将sinα-cosα=2两边平方得sin2α-2sinαcosα+cos2α=2,即sinαcosα=-12,则sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=-12,整理得2tanα+tan2α+1=0,即(tanα+1)2=0,所以tanα=-1.故选A.答案:A9.已知2sinθ=1+cosθ,则tanθ2的值为(　　)A.2B.12C.12或不存在D.2或不存在解析:若1+cosθ≠0,则tanθ2=sinθ1+cosθ=12;若1+cosθ=0,即cosθ=

6、-1,∴θ=2kπ+π(k∈Z),θ2=π2+kπ(k∈Z).∴tanθ2不存在.答案:C10.已知函数f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=-2的两个相邻交点间的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是(　　)A.kπ-π12,kπ+5π12,k∈ZB.kπ+5π12,kπ+11π12,k∈ZC.kπ+π6,kπ+2π3,k∈ZD.kπ-π3,kπ+π6,k∈Z解析:f(x)=2sinωx+π6,由题意得f(x)的最小正周期T=π,∴ω=2πT=2ππ=2,∴f(x)=2sin2x+π6,令2k

7、π-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z,则f(x)的单调递增区间是kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.设向量a=(4sinα,3),b=(2,3cosα),且a∥b,则锐角α=　　　　　. 解析:∵a∥b,∴12sinαcosα-6=0.∴sin2α=1.∴2α=π2+2kπ(k∈Z),则α=π4+kπ(k∈Z).又α为锐角,则α=π4.答案:π412.已知sin(α-β)cosα-cos(α-β)sin

8、α=35,则cos2β=　　　　　. 解析:因为sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sinβ=35,所以sinβ=-35,则cos2β=1-2sin2β=1-2×-352=725.答案:7