【高考必备】高中数学教师备课必备系列（统计案例）：专题三非线性回归问题

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1、知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。能力冃标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基木思想、方法及初步应用.教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性I叫归模型，了解在解决实际问题的过程屮寻找更好的模型的方法.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.教学方式：合作探究教学过程：一、复习准备：对于非线性回归问题，并没冇给出经验公式，这时我

2、们可以価出已知数据的散点图，把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幕函数、指数函数、对数函数等）的图彖作比鮫，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采川适当的变量代换，把问题转化为线性回归问题,使其得到解决.二、讲授新课：1.探究非线性回归方程的确定：1.给出例1：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y与尢之间的回归方程.温度"C21232527293235产卵数W个711212466115325（学牛描述步骤，教师演示）2.讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不星线性和

3、关关系，所以不能宜接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.①如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，叮以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.②根据己有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数Illi线尸Ge®的周围（其屮是待定的参数），故町用指数函数模型来拟合这两个变量.③在上式两边取对数，得lny二qx+lnq,再令z=lny，则z=c2x+c},而z与兀间的关系如下：X21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784观察z与

4、兀的散点图，可以发现变换后样木点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.①利用计算器算得-3.843上=0.272,z^x间的线性回归方程为二0.272—3.843,因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为9=e0272x-3-843•②利用冋归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图t建模T确定方程”这三个步骤进行.其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.三、合作探究例2.:炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包，在使用过程中，由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀，使其容积不断增人，请根据表格屮的数据找出使用次数x与增人

5、的容积y之间的关系.【解】先根据试验数据作散点图，如图所示：从图中可以与卩之利不存衽线性相关关靈.但仔细分析一下，知道钢包刑e使用吋侵魅速度快，藝后逐渐减悝.显藝.钢包餾不会无限増大.它怒有F平行于龙轴的渐近线.于是袒範「特克.我＜］试设指数型函数曲线y=怎对它两边取对数得lnp=lnn+^.aw令z=lnpaf=

6、.a1=fckz1SB上式可写为线性方程；使用234567891t—X0.500.33330.250.200.16670.14290.12500.11110.10z=hiy1.85942.1041225972.25132.27212302

7、62.29562.30162.35041t—X0.09090.08330.07690.07140.06670.0625s=lny2.35992.360923795236吵238882.3758z=a!+bt9t>z6.42&209.589.509.7010.009・939.99的数值对应表为:【题后点评】作出散点图，由散点图选择合适的回归模型是解决本题的关键，在这里线性回归模型起了转化的作用.例2：—只红铃虫的产卵数y和温度兀有关，现收集了7组观测数据列于下表屮，试建立y与兀之间的回归方程.温度xlC21232527293235产卵数y/个71121

8、24661153252、讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量呈非线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程來建立两个变量之间的关系.••••①如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，nJ以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性凹归像犁來建模.②根据已有的函数知识，可以发现样木点分布在某一条指数函数曲线尸彳®的周围（其中c„c2是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.X21232527293235Z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.7

9、84①在上式两边取对数，得lny=c2x4-lnC],再令z=lny,则z=c2x+c},而z与兀间的关