【备战高考文科数学】题型全突破：压轴题高分策略之函数的模型与应用（解析版）

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1、压轴题高分策略之函数的模型与应用（解析版）【考点剖析】1.最新考试说明：（1）了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征，知道直线上升、指数增长等不同函数的类型增长的含义.（2）了解函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.2.命题方向预测：（1）将实际问题会抽象成数学模型.（2）用函数思想解决数学问题.（3）熟练掌握几种常见的函数模型（一次函数二次函数指数函数，对数函数,幕函数，分段函数）.（4）考查解决函数应用问题的能力，阅读能力、建立函数模型的能力，求解函数模型的能力.【知识梳理】1、使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体

2、现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数,均值不等式等工具求出最值（2）需用到的数学工具与知识点：①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况,且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值①均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值。

3、①分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形,并利用换元将其转化为熟悉的函数求解(3)常见的数量关系：①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：平行四边形面积二底X高梯形面积飞X(上底+下底)X咼三角形面积底X高②商业问题：总价二单价X数量禾1」润=营业额-成本二货物单价X数量-成本③利息问题:利息=本金X利率本息总和=本金+利息=本金X利率+本金(4)在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时,变量应取正整数。涉及到钱，速度等问题,变量的取值应该为正数。2、使用线性规划模型解决实际问题(1)题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的

4、不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题(2)与函数模型的不同之处①函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围(或最值)②线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。(3)解题步骤：根据题目叙述确定未知变量(通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示）,并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小【典例1］【2016髙考

5、四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%z则该公司全年投入的硏发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据:lgl.l2=0.05,lgl.3=0.11,lg2=0.30）（A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年200万元，由已知得【答案】B【解析】设从2015年后第垃年该公司全年投入的研发资金幵始超过130x(l+12%r>2008.-.l.ir>^两边取常用对数得200130>lg2-lgl.3lgl-12罟—…故选氏学科网【考点走位】1・増长率问题：2

6、•常用对数的应用.【思路点拨】本题考查等比数列的实际应用.在实际问题中平均増长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论.【典例2］【2015高考四川，文8］某食品的保鲜时间错误!未找到引用源。（单位：小时）与储藏温度错误!未找到引用源。（单位：°C）满足函数关系错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。为自然对数的底数，错误!未找到引用源。为常数）•若该食品在错误味找到引用源。°C的保鲜时间是错误!未找到引用源。小时，在错误!未找到引用源。°C的保鲜时间是错误!未找到引用源。小时，则该食品在错误!未

7、找到引用源。°C的保鲜时间是（）（舛16小时（冈20小时（024小时（0）21小时【答案】C192=?19・1°【解析】由题意,“s得丿1山，于是当x=33时，尸严—（严尸•£=（『><192=24（小48=严7-=g山212时）【考点定位】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力.【思路点拨】指数函数是现实生活中最常容易邁到的一种函数模型，如人口増长率、银