【备战高考理科数学】题型全突破专题：压轴题高分策略之数列与不等式相结合（解析版）

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1、压轴题高分策略之数列与不等式相结合数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查•主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前〃项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用•预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一般会出现•数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题.其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不

2、等式综合的应用性解答题.一、数列参与的不等式的证明问题【典例1】[2016高考四川理数(19)】已知数列｛色｝的首项为-S〃为数列｛©｝的前门项和，S”]=qSfl+1,其中q>0,neN：.(I)若2。2卫3卫2+2成等差数列，求数列｛冇｝的通项公式；(II)设双曲线x2-^=的离心率为匕，且e2=-，证明：弓+匕+•••+/〉一〒.%；3"3【答案】(I)陽二2"?N*);(II)详见解析.【审题指导】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和等基础知识，考查学生的分析问题和解决问题的能力、计算能力.第(I)问第一步：禾I」用J=5„+1-S”得到

3、数列｛色｝为等比数列，第二步：结合2%刃，盼2成等鹤攵列求出｛色｝的公比g,从而利用等比数列的通项公式求解；第(u)问，第一步：先利用双曲线的离心率得到匕的表达式，再解出｛匕｝的公比g的值，第二步：利用等比数列的求和公式计算证明.【解析】(I)由已知/S”+]二gS”+1,S”2=gS”+

4、+1,两式相减得到a*=qw?1・又由S2=qS

5、+1得到a2=qa｝,故匕沖=%”对所有n31者B成立.所以，数列仏”｝是首项为1,公比为g的等比数列.从而an=q"'1.由2avav①+2成等差数歹U,可得2鸟=3。2+2,即2q?=3q+2,,则(2q+l)(q-2)=0,

6、由已知,？＞0,故q二2.所以a”=2n'1(n?N*).(II)由(I)可知，a=严・所以双曲线r-X=l的离心率冬==JFT戸・由色=Ji+g：=彳解得q=扌・因为lp'Z＞,所以Jlpn＞qf尢WNJ・a*[于是坷+冬+…+耳＞1一q+…+,?一1故弓+◎+-.-+〈＞〒—・考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和、不等式证明【得分策略】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数歹啲求和等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力、计算能力•在第(I)问中，已知的是S”的递推式,在与5„的关系式中，经常用n+1代换“,然后两式相减，可得％的递

7、推式；在第(II)问中，不等式的证明用到了放缩法，这是证明不等式常用的方法，本题放缩的目的是为了求数列的和.另外，放缩时要注意放缩的“度",不能太大，否则得不到结果.二■求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题【典例2］已知单调递增的等比数列｛色｝满足。2+色+為=28，且色+2是，偽的等差中项.(I)求数列｛%｝的通项公式；(n)设仇=色Jog?%,其前〃项和为s“，若(斤一1)2Gt?(S〃—72—1)对于77X2恒成立,求实数加的取值范围•_1【答案】(1)%严2";(H).【审题指导】本题考查等差数列等比数列的基本性质及数列求和有关知识，并结合对数函数运算

8、，数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题,综合性较强,难度稍大。第一步：利用等差中项的性质及等比数列基本运算，求出数列匕｝的通项公式,第二步：利用(I)结果，带入计算，得岀bn=n•2〃，用错位相减法求出bn前斤项和为S”，将S”=(n—1)2曲+2带入(n-l)2

9、得卜=2或『「(舍)[axq2=89=2[?=-J*(口)由(I)知，bn=n•2n.•.»=1・2+2・22+3・2'+・・.+/7・2"①2^=2-2+2-23+3-244-...+n-2,,+1②①—@得一片=2+2?+2彳+…+2"-兄•2网22W+1■(1-2-/i.2w+,)=(n-l)2H+,+2若(〃_1)1加(5"_/?—1)对于〃2©^立.贝1」©_1)1加[5_1)2曲+2_/?_「=vi—1(卅一1)・W加(n_1)(2"—1),・・.m>2“+i_j令/(")=昇T则当心时,站—命$禺罟吉<0所以，当心2时/(n)单调递减，则/(n)