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1、华南理工大学网络教育学院《高等数学(上)》辅导一.判断两个函数的定义域是否相同1、/(x)=InX2与/(x)=21nx是否表示同一个函数?2、/(x)=
2、x
3、与/⑴=表示同一个函数二.常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：xx〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctan兀x〜ln(l+x)〜ex-11—COSX无2J1+兀—1X22无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题:sin33xlimx->0解：当xT0,sin3x〜原式=lim27x=0xtO无/x->0〜sin3x2、lim=?解：原式=lim—=3Z)X3、lim
4、冲二?ZJT解：当—O,Is寺原式=lim92°x24、lim^+3x)=?xtOX解：当兀一0,ln(l+3兀)~3兀原式=.lim—=3.xtO%解：当x—0,e2x-l〜2兀原式=・lira生=2.2°x三、多项式之比的极限..xc%2—11[・3x"+xlim=0,lim=—,lim=ooA3兀+XXTco3X+X3“TOOx1、若f（x）在x0点导数存在，则f（x）在x0点连续.2.若如是/（劝的驻点，则它不一定是/（兀）的极小值点.五.导数的几何意义（填空题）广（如）：表示曲线尸/（劝在点MgJ（如））处的切线斜率曲线・・V=/（%）・・在点M（Xo，/CG）处的切线方程
5、为：y—/（如）=/'（兀）（兀一观）曲线y=/（劝在点M（x09/（x0））处的法线方程为：fOU例题:1、曲线尸拦在点呢3)的切线的斜率.(4+兀)丫4—x)—(4+兀)(4—无)‘(4-x)2COSX8(4—兀尸=22＞曲线在点M(0,l)处的切线方程.e(cosx)1ex一cosx(eA)fx=0(疔•YY一sinxw-cosxex=0所以曲线尸斗在点M(0,1)处的切线方程为:ey—1=—(无一0),艮卩x+y-=03.曲线尸乔在点MW)处的切线方程・解：x=所以曲线y=-^在点M(l,l)处的切线方程为:目x12y_l=__(x-1),艮卩2x+3y—5=0六.导数的
6、四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：y=/(«),u=g(x)=>y=f[^(x)]:学=字半axdwax或yx)=fXu)-gx).微分：dy=fx)dx例题：1、设尸则y=?解:y冷X+i)訂宀i)；启2、设y=sinx2,则y=?f解：y=cos%2(^2)=2xcosx23>设j=2sinx,则dy=2解：y=2sinvln2-(sinx)=2sinAcosxln2则❻=2sinvcosxIn2dx4、设y=sin『，则心=?解：y=cosex・(ex)=excosex所以右=excosexdx5.设歹=厂，则dy=2(答案：-2xe~xdx)七.运用
7、导数判定单调性、求极值例题：1、求y=xlnx的单调区间和极值.解：定义域xe(0,4W)令;/=lnx+l=0,求出驻点x=e~l(0,「)—单调减e"1(「,+00)0+极小值点单调增函数的单调递减区间为(0,€“],单调递增区间为(訂,+Q极小值为y(—)=-—・ee2、求y=x厂的单调区间和极值.解：定义域xe(-00,+oo)令#=e~x一xex=(1-x)e~x=0,求出驻点x=1Xdi)yf+y单调增1(1严)0—极大值点单调减函数的单调递减区间为［1，+O0),单调递增区间为(-00,1),极大值为y(l)=e_1・2.求函数/(兀)=厂1的单调区间和极值.解：定义域
8、xe(-00,+oo)令广(兀)=-2xe~x,得兀=0XY,0)yf+y单调增0(0,+oo)0—极大值点单调减单调递增区间：(y,0),单调递减区间：(0,+oo),极大值为f(0)=1.174＞求函数f(x)=-x-x的极值.答案：极小值为y(l)=-一，极大值为X-1)=
9、八、隐函数求导例题：1.求由方程ex+siny-xy^2=0所确定的隐函数y=歹(兀)的导数型dx解:方程两边关于兀求导,得:K+cosy.y'—(y2+2厂/)=0cosy—2xy2、求由方程y=cos(x+y)所确定的隐函数y=y(x)的导数dydx解：方程两边同时关于X求导，得:y=-sin(x+y)
10、(l+y)—sin(x+y)l+sin(x+y)3、求由方程y=sm(x+y)所确定的隐函数y=丁(兀)的导数dy_答案.dy二cos(x+y)dxdx]—cos(x+y)4、求由方程xy+x+y=Q所确定的隐函数y=y(x)的导数型.答案：型―dxdxx九.洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理例题:K求极限lim1———-1sinxj解：原式=limsinx-(e--l)so(e-l)sinx=lim―y——.(当时,sin兀DX'“co
