高等数学B(上)复习资料.docx

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1、---------华南理工大学网络教育学院《高等数学（上）》辅导一、求函数值例题：1、若f(x)x2，(x)ex，则f((x))．解：f((x))f(ex)ex2e2x2、若f(x1)2x1，则f(x)．解：令x1t，则xt1所以f(t)2(t1)12t3即f(x)2x3二、常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanxx~ln(1x)~ex-11cosx~1x2,1x1~1x22-------------第1页共23页-------------无穷小替换原理：在

2、求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：sin33x1、limx2？x0解：当x0，sin3x~3x，原式=lim(3x)3lim27x0x0x2x02、limsin3x？x0x解：原式=lim3x3x0x1-cosx3、limx2？x0解：当x0，1-cosx~1x221x21原式=lim22x0x2-------------第2页共23页-------------4、limln(13x)？x0x解：当x0，ln(1+3x)~3x原式=.lim3x3.x0x5、lime2x1？x0x解：当x0，e2x1~2x原式

3、=.lim2x2.x0x三、多项式之比的极限limx0，limx211，lim3x2x3x2x3x2x3xxxx四、导数的几何意义（填空题）f(x0)：表示曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处的切线斜率曲线..yf(x)..在点M(x0,f(x0))处的切线方程为：yf(x0)f(x0)(xx0)曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处的法线方程为：-------------第3页共23页-------------例题：1、曲线y解：yx2yf(x0)1(xx0)f(x0)4x在点M(2,3)的切线的斜率．4x(4x)'(

4、4x)(4x)(4x)(4x)2x282(4x)2x2-------------2、曲线ycosx在点M(0,1)处的切线方程．ex解：y(cosx)'excosx(ex)x0x2(e)x0sinxexcosxex1(ex)2x0cosx所以曲线y在点M(0,1)处的切线方程为：xey1(x0)，即xy103、曲线y1在点M(1,1)处的切线方程．3x2解：yx12x3523x13-------------第4页共23页-------------所以曲线y1在点M(1,1)处的切线方程为：3x2y12(x1)，即2x3y503五、导

5、数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：yf(u),ug(x)yf[g(x)]:dydydudxdudx或y(x)f(u)g(x).微分：dyf(x)dx例题：1、设yx21，则y'？解：y'1x21x2x1212x212、设ysinx2，则y'？解：y'cosx2x2'2xcosx23、设y2sinx，则dy？解：y'2sinxln2sinx'2sinxcosxln2-------------第5页共23页-------------则dy2sinxcosxln2dx4、设ysinex，则dy？解：y'cosexe

6、x'excosex所以dyxcosxeedx5、设yex2，则dy？（答案：2xex2dx）六、运用导数判定单调性、求极值例题：1、求yxlnx的单调区间和极值．解：定义域x(0,)令ylnx10，求出驻点xe1x(0,e1)e1(e1,)y-0+y单调减极小值点单调增函数的单调递减区间为(0,e1]，单调递增区间为(e1,)极小值为y(1)1．ee-------------第6页共23页-------------2、求yxex的单调区间和极值．解：定义域x(,)令yexxex(1x)ex0，求出驻点x1x(,1)1(1,)y+0-

7、y单调增极大值点单调减函数的单调递减区间为[1,)，单调递增区间为(,1)，极大值为y(1)e1．3、求函数.f(x)ex2.的单调区间和极值．解：定义域x(,)令f(x)2xex2，得x0x(,0)0(0,)y+0-y单调增极大值点单调减单调递增区间：(,0)，单调递减区间：(0,)，极大值为f(0)1．4、求函数f(x)1x3x的极值．答案：极小值为y(1)2，33-------------第7页共23页-------------极大值为y(1)23-------------七、隐函数求导例题：1、求由方程exsinyxy20

8、所确定的隐函数yy(x)的导数dy．dx解：方程两边关于x求导，得：excosyy(y22xyy)0-------------即yy2ex-------------cosy2xy2、求由方程ycos(xy)所确定的隐函数yy(x)的