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1、华南理工大学网络教育学院《高等数学（上）》辅导一、判断两个函数的定义域是否相同1、f(x)lnx2与f(x)2lnx是否表示同一个函数？2、f(x)
2、x
3、与f(x)x2表示同一个函数二、常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanxx~ln(1x)~ex-11cosx~1x2,1x1~1x22无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：sin33x1、limx2？x0解：当x0，sin3x~3x，(3x)3
4、lim27x0原式=limx0x2x02、limsin3x？x0x解：原式=lim3x3x0x3、lim1-cosx？x0x2解：当x1x20，1-cosx~21x21原式=lim22x0x24、limln(13x)？x0x解：当x0，ln(1+3x)~3x原式=.lim3x3.x0x5、lime2x1？x0x解：当x0，e2x1~2x原式=.lim2x2.x0x三、多项式之比的极限limx0，limx211，lim3x2x22x3xxx3xx3xx四、可导与连续等的关系1、若f(x)在x0点导数存在,则f(x)在x0点连续
5、.、2.若x0是f(x)的驻点，则它不一定是f(x)的极小值点.五、导数的几何意义（填空题）f(x0)：表示曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处的切线斜率曲线..yf(x)..在点M(x0,f(x0))处的切线方程为：yf(x0)f(x0)(xx0)曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处的法线方程为：yf(x0)1(xx0)f(x0)例题：1、曲线y4x在点M(2,3)的切线的斜率．4x解：y(4x)'(4x)(4x)(4x)x2(4x)2x282(4x)2x22、曲线ycosxx在点M(0,1)处的切线方程．e解
6、：y(cosx)'excosx(ex)x0x2(e)x0sinxexcosxex1(ex)2x0所以曲线ycosxx在点M(0,1)处的切线方程为：ey1(x0)，即xy103、曲线y1在点M(1,1)处的切线方程．3x2解：yx12x35233x1所以曲线y1在点M(1,1)处的切线方程为：3x2y12(x1)，即2x3y503六、导数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：yf(u),ug(x)ydydyduf[g(x)]:dudxdx或y(x)f(u)g(x).微分：dyf(x)dx例题：1、设yx21
7、，则y'？解：y'1x21x2x12211x22、设ysinx2，则y'？解：y'cosx2x2'2xcosx23、设y2sinx，则dy？解：y'2sinxln2sinx'2sinxcosxln2则dy2sinxcosxln2dx4、设ysinex，则dy？解：y'cosexex'excosex所以dyxcosxeedx5、设yex2，则dy？（答案：2xex2dx）七、运用导数判定单调性、求极值例题：1、求yxlnx的单调区间和极值．解：定义域x(0,)令ylnx10，求出驻点xe1x(0,e1)e1(e1,)y-0+y
8、单调减极小值点单调增函数的单调递减区间为(0,e1]，单调递增区间为(e1,)极小值为y(1)1．ee2、求yxex的单调区间和极值．解：定义域x(,)令yexxex(1x)ex0，求出驻点x1x(,1)1(1,)y+0-y单调增极大值点单调减函数的单调递减区间为[1,)，单调递增区间为(,1)，极大值为y(1)e1．3、求函数.f(x)ex2.的单调区间和极值．解：定义域x(,)令f(x)2xex2，得x0x(,0)0(0,)y+0-y单调增极大值点单调减单调递增区间：(,0)，单调递减区间：(0,)，极大值为f(0)1．
9、1x3x的极值．答案：极小值为y(1)24、求函数f(x)，332极大值为y(1)3八、隐函数求导例题：1、求由方程exsinyxy20所确定的隐函数yy(x)的导数dy．dx解：方程两边关于x求导，得：excosyy(y22xyy)0即yy2excosy2xy2、求由方程ycos(xy)所确定的隐函数yy(x)的导数dy．dx解：方程两边同时关于x求导，得：ysin(xy)(1y)即sin(xy)yy)1sin(x3、求由方程ysin(xy)所确定的隐函数yy(x)的导数dy．答案：dycos(xy)dxdx1cos(x
10、y)4、求由方程xylnxlny0所确定的隐函数yy(x)的导数dy．答案：dyydxdxx九、洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理例题：1、求极限lim11x1sinxx0e解：原式limsinx(ex1)(ex1)sinxx0sinx(ex1).当xxlimx20时，sinx~
