线性代数向量组的极大线性无关级

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1、第三节向量组的极大线性无关组一向量组的等价二向量组的极大线性无关组三向量组的秩与矩阵的秩四应用举例一、向量组的等价定义设两向量组若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组B线性表示，则称向量组Ａ可以由向量组B线性表示.若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.向量组之间的等价关系具有自反性、对称性、传递性.即存在矩阵即对任意的自反性:A等价于A对称性:若A等价于B，则B等价于A传递性:若A等价于B，B等价于C，则A等价于C如何证明两个向量组等价？证明：向量组A与B等价若A可由B线性表示，且r>s，则向量组A线性相关(Page

2、82)由定义：证明两向量组能相互表示定理：设Rn中的两个向量组例如：若为R2中的基本向量组，即,向量组AB推论1：若向量组A可由向量组B线性表示，且A线性无关，则必有r≤s推论2：若向量组A与B均线性无关且等价，则它们所含向量的个数相同二、向量组的极大线性无关组若向量组A中的一个部分组满足(1)线性无关(2)向量组A中的每个向量均可由线性表示则称为A的一个极大线性无关组注：①向量组A的极大线性无关组与它自身等价②极大线性无关组与A中的另外的向量所组成的新的向量组必线性相关③向量组的极大线性无关组通常不唯一定理：一个向量组的极

3、大线性无关组所含向量的个数是唯一的例：求向量组A的一个极大线性无关组提示：线性无关均线性无关又因均A的极大线性无关组故例：Rn中的基本向量组是Rn的一个极大线性无关组三、向量组的秩与矩阵的秩1、定义：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩定理：等价的向量组秩相等注：①秩相等的向量组不一定等价②任意n+1个n维向量一定线性相关（Rn的秩为n）2、向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵与向量组之间有一一对应的关系，那么秩之间又有什么关系？定理有相同的线性相关性与线性组合系数.相同的线性相关性是指：已知n维列向量组若对Ａ施

4、行行初等变换把Ａ化为则向量组①线性表示，且表达式的系数对应相同.②线性表示，对应的③极大无关组相对应.线性相关<==>线性相关作用：为判断向量组线性相关或无关以及求极大线性无关组提供了一种简单的方法证明设Ａ的某些列有关系则相应的具有相同的线性相关性.即B中列向量组与Ａ中列向量组求向量组Ａ的列向量组的秩及一个极大线性无关组，例设矩阵并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.所以Ａ的列向量组的秩为３.故极大线性无关组所含向量的个数为３个.解显然极大线性无关组为所以可得定义矩阵Ａ的列向量组的秩称为列秩，记为：Ａ的行向量组的秩称为行秩

5、，记为：定理①当r=m时，则A的行向量组线性无关；当r

6、A

7、≠0.1、向量组　　　　　线性无关，证明：线性无关.四、应用举例2、设所以线性无关试讨论　　　　及　　　　　秩及线性相关性.线性相关解且3、已知设证明线性无关.4、设①当t为何值时，　　　线性无关②当t为何值时，　　　线性相关③当　　　　线性相关时，将　用　　线性表示.