误差和分析数据和得理

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1、第十讲第三章误差和分析数据和得理10-13-3随机误差的正态分布一、频率分布在相同条件下对某样品中镍的质量分数（%）进行重复测定，得到90个测定值如下：1.601.671.671.641.581.641.671.621.571.601.591.641.741.651.641.611.651.691.641.631.651.701.631.621.701.651.681.661.691.701.701.631.671.701.701.631.571.591.621.601.531.561.581.601.581.591.611.621.551.521.491.

2、561.571.611.611.611.501.531.531.591.661.631.541.661.641.641.641.621.621.651.601.631.621.611.651.611.641.631.541.611.601.641.651.591.581.591.601.671.681.69第十讲第三章误差和分析数据和得理10-2首先视样本容量的大小将所有数据分成若干组：容量大时分为10-20组，容量小时（n<50）分为5-7组，本例分为9组。再将全部数据由小至大排列成序，找出其中最大值和最小值，算出极差R。由极差除以组数算出组距。本例中的R

3、=1.74%-1.49%=0.25%，组距=R/9=0.25%/9=0.03%。每组内两个数据相差0.03%即：1.48-1.51,1.51-1.54等等。为了使每一个数据只能进入某一组内，将组界值较测定值多取一位。即：1.485-1.515,1.515-1.545,1.545-1.575等等。统计测定值落在每组内的个数（称为频数），再计算出数据出现在各组内的频率（即相对频数）。第十讲第三章误差和分析数据和得理10-3分组（%）频数频率1.485-1.51520.0221.515-1.54560.0671.545-1.57560.0671.575-1.605

4、170.1891.605-1.635220.2441.635-1.665200.2221.665-1.695100.1111.695-1.72560.0671.725-1.75510.011∑901.00第十讲第三章误差和分析数据和得理10-4图3-3频率分布的直方图第十讲第三章误差和分析数据和得理10-5由表中的数据和图3-3可以看出，测定数据的分布并非杂乱无章，而是呈现出某些规律性。在全部数据中，平均值1.62%所在的组（第五组）具有最大的频率值，处于它两侧的数据组，其频率值仅次之。统计结果表明：测定值出现在平均值附近的频率相当高，具有明显的集中趋势；而

5、与平均值相差越大的数据出现的频率越小。二、正态分布正态分布，又称高斯分布，它的数学表达式即正态分布函数式为：第十讲第三章误差和分析数据和得理10-6式中y表明测定次数趋于无限时，测定值xi出现的概率密度。若以x值表示横坐标，y值表示纵坐标，就得到测定值的正态分布曲线。曲线的最高点，它对应的横坐标值μ即为总体平均值，这就说明了在等精密度的许多测定值中，平均值是出现概率最大的值。式（3-13）中的σ为总体标准偏差，是曲线两侧的拐点之一到直线x=μ的距离，它表征了测定值的分散程度。标准偏差较小的曲线陡峭，表明测定值位于μ附近的概率较大，即测定的精密度高。与此相反，

6、具有较大标准偏差较大的曲线平坦，表明测定值位于μ附近的概率较小，即测定的精密度低。第十讲第三章误差和分析数据和得理10-7图3-4正态分布曲线（μ相同，σ2>σ1）σ1σ２第十讲第三章误差和分析数据和得理10-8综上所述，一旦m和σ确定后，正态分布曲线的位置和形状也就确定，因此μ和σ是正态分布的两个基本参数，这种正态分布用N（m，σ2）表示。正态分布曲线关于直线x=μ呈钟形对称，且具有以下特点：1.对称性绝对值大小相等的正负误差出现的概率相等，因此它们常可能部分或完全相互低消。2.单峰性峰形曲线最高点对应的横坐标x-μ值等于0，表明随机误差为0的测定值出现的

7、概率密度最大。3.有界性一般认为，误差大于±3σ的测定值并非是由随机误差所引起的。也就是说，随机误差的分布具有有限的范围，其值大小是界的。第十讲第三章误差和分析数据和得理10-9代入（3-13）中得：由于μ和σ不同时就有不同的正态分布，曲线的形状也随之而变化。为了使用方便，将正态分布曲线的横坐标改用u来表示（以σ为单位表示随机误差），并定义三、标准正态分布由于第十讲第三章误差和分析数据和得理10-10经过上述变换，总体平均值为μ的任一正态分布均可化为μ=0，σ2=1的标准正态分布，以N（0，1）表示。标准正态分布曲线如图3-5所示，曲线的形状与μ和σ的大小无

8、关。故u称为标准正态变量。此时式（3-13）就转化成