清华大学马连荣03函数极限PPT

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1、3.2区间套定理与列紧性定理定理3.2.1(闭区间套定理)满足下列条件:也就是说,注如果将闭区间改成开区间，则定理的结论不再成立.3.2.1闭区间套定理闭区间套定理的证明考察两个点列：于是两个极限都存在：并且因此再证明这一列区间的交集只包含一个点ξ.因此定理3.2.2(Bolzano-Weierstrass定理)有界点列必有收敛子列.3.2.2列紧性定理设数列有界.首先存在任意取定分区间为中无穷多项，则其中至少有一个含有数列取其中含有数列中无穷多项的一个区间记为任取使得例3.2.1设数列都有界.且数列都收敛.使得子列收敛.因为数列有界,故存在正整数列的相应子列

2、有界，(因为有界),所以有收敛子列收敛数列的相应子列当然也收敛.则存在正整数列满足证明:定义3.2.1(柯西列)就有注(柯西列的等价表述)定理3.2.3(柯西收敛准则)以下两个命题等价：注柯西收敛准则的核心是：柯西点列必有极限．柯西收敛准则说明：实数集对于极限是封闭的．实数系的这个性质称为实数的完备性．有理数系不具有完备性．是柯西列，但在有理数系中不存在极限．证明：必要性.设数列收敛，则当时，有从而有充分性.设数列为Cauchy列，则对于正数存在有所以有所以数列有界有收敛子列记对于任意存在存在取，当时有（）例3.2.2数列发散.所以有证明：存在由Cauchy收

3、敛准则，数列发散.例3.2.3证明：数列收敛.要即只要只要只要即即,只要.所以,有由Cauchy收敛准则,数列收敛.作业P1002,3P623,42.3函数极限的概念和性质2.3.1自变量x的六种变化趋势2.3.2函数极限的定义2.3.3函数极限的性质表示动点x从定点x0的左侧无限趋向于x0的无限过程.在这个无限过程中,始终保持xx0.是动点x受到限制的变化过程.2.3.1自变量x的六种变化趋势在这个过程中,x可以变得大于任意事先指定的正数M.表示变量x的值无限增大的过程

4、.此时称x趋向于正无穷大,或趋向于正无穷.表示变量x的值无限减小的过程.在这个过程中,x可以变得小于任意事先指定的负数N.此时称x趋向于负无穷大,或趋向于负无穷.表示变量x的绝对值

5、x

6、无限增大的过程.在这个过程中,

7、x

8、可以变得大于任意事先指定的正数M.定义2.3.1（函数在一点的极限）记作或者注2.3.2函数极限的定义单侧极限(左极限)定义2.3.2或者设函数在x0的左侧某个区间(x0–,x0)中有定义.记作则称当xx0-时,f(x)的左极限是A.(右极限)定义2.3.3或者记作则称当xx0+时,f(x)的右极限是A.设函数在某区间(x0,x0+)

9、中有定义.证例2.3.1于是由函数极限概念推出要即要只要所以定理2.3.1定义2.3.2（函数在无穷处的极限）或者类似地,可以定义当x→-∞，x→∞时,函数的极限.证例2.3.2所以于是由函数极限概念推出要只要(因为)只要例2.3.3设用定义证明证要只要只要只要所以有所以例2.3.4用极限定义证明证要只要1)只要只要2)当时,只要(因为此时)只要所以有即例2.3.5用极限定义证明证要只要只要只要所以所以例2.3.6用极限定义证明证要设只要只要只要只要只要只要只要所以所以极限的唯一性在x的同一个变化过程中,如果同时有存在极限的函数局部有界.具体地说就是:则存在正

10、数,则存在正数,性质1性质22.3.3函数极限的性质则存在正数N,使得f(x)在区间(N,+)有界.请自己写出相应的结论.则存在正数N,极限的保号性注1结论仍然成立.性质3证对于注2下述结论不成立：定理2.3.2(函数极限与数列极限的关系)设函数在的某去心邻域有定义，则对于收敛于的任意的数列都有证收敛于因为所以有因为收敛于所以有有设对于收敛于的任意的数列都有假设不成立，则使得对于使得对于使得对于，使得对于上面取得的数列不成立.矛盾.因为所有的都收敛,所以都收敛到同一极限.例2.3.7证明不存在.证明：取则数列收敛于0，取则数列也收敛于0，所以不存在.定理

11、2.3.3(函数极限的Cauchy收敛准则)设函数在的某去心邻域有定义，则证因为所以设设利用函数极限与数列极限的关系.设收敛于因为根据数列的Cauchy收敛准则,数列收敛.由定理2.3.2,作业P721(4)(5)(6)2(3)(4)3,4Bye!