多元函数基本概念12多元函数的极限与连

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1、1.1多元函数的基本概念1.1.1n维空间点集的有关概念定义1内积定义2向量的长度显然特别地,定义3邻域定义4内点,外点,边界点定义5聚点例(0,0)既是边界点也是聚点．定义6孤立点例如，即为开集．定义9连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，定义10开区域连同它的边界一起称为闭区域.开区域和闭区域统称为区域(域).如果存在正数M,使得对于域E中的任意点P(x,y)到原点的距离小于M,即,则称E为有界域,否则为无界域.类似地可定义三元及三元以上函数．定义11二元函数的定义1.1.2多元函数的定义例1求的定义域．解所求定义域为（6）二元函数的图形（如下页图）二元函数的图

2、形通常是一张曲面.例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:1.2多元函数的极限与连续1.2.1二元函数的极限----二重极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例2求证证当时，原结论成立．例3求极限解其中求二元函数的极限也称为二重极限方法1.利用定义求方法2.利用一元函数的极限去求例4证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．不存在.观察播放确定极限不存在的方法：利用点函数的形式有定义21.2.2、多元函数的连续性例5讨论函数在(0,0)处的连续性．解取故函数在(0,0)处连续.从

3、而例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例７解例8求解显然(1,0)

4、为函数的连续点,所以例9求解取则即多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）多元函数的定义小结思考题思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取不存在.观察不存在.观察观察不存在.不存在.观察观察不存在.不存在.观察观察不存在.不存在.观察观察不存在.不存在.观察观察不存在.不存在.观察观察不存在.不存在.观察观察不存在.不存在.观察观察不存在.不存在.观察观察不存在.不存在.观察观察不存在.不存在.观察观察不存在.不存在.观察returnreturn