多元函数微分学8.1多元函数的极限与连续.ppt

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1、第八章多元函数微分学可以用一次的想法是诀窍，如果它可以用两次以上，那他就成为一种方法了。波利亚（美国数学家）缺乏必要的数学知识，就无法理解最简单的自然现象；若要深入洞察自然奥秘，那就非得同时研究数学方法不可。杨格（美国数学家）主题词：多元函数、极限、连续、偏导数、全微分、方向导数、梯度、曲面的切平面与法线、曲线的切线与法平面、拉格朗日乘数法第八章多元函数微分学8.1多元函数的极限与连续8.2偏导数8.3全微分8.4多元复合函数微分法8.5隐函数的微分法8.6多元函数微分法在几何上的应用8.8多元函数的极值8.9最小二乘法选读：偏微分在经济分析中的应用数学家：雅科比8.1.1平面点集的知识（

2、1）邻域8.1多元函数的极限与连续xyO(x,y)xy（2）区域例如，即为开集．连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，是有界闭区域；是无界开区域．例如，（3）聚点(a)内点一定是聚点；说明：(b)边界点可能是聚点；例,(0,0)既是边界点也是聚点．(c)点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．边界上的点都是聚点也都属于集合．n维空间中邻域、区域等概念内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：8.1.2多元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．例1求的定义域．解所求定义域为二元函数的图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.又例如,球面图形如右图.例如,可确定两个二元函数对于三

3、元（及其多于三个自变量）函数没有明显的几何意义。8.1.3多元函数的极限说明：（2）定义中的方式是任意的；（3）二元函数的极限也叫二重极限（4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例2求证证当时，原结论成立．例3求极限解其中证例5证明不存在．取其值随k的不同而变化，故极限不存在．不存在.观察播放确定极限不存在的方法：利用点函数的形式有8.1.4多元函数的连续性定义3结论：多元初等函数在其定义域内的任一区域上是连续的。例6讨论函数在(0,0)处的连续性．解取故函数在(0,0)处连续.当时闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区

4、域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理（3）一致连续性定理在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．例７解多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）小结多元函数的定义思考题思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取练习题练习题答案不存在.观察观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.