第1章函数与极限3连续ppt课件.ppt

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1、第三节连续函数设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，终值与初值的差u2-u1就叫做变量u的增量，记作Du，即Du=u2-u1．§1.3.1函数的连续性f(x0)f(x0+Dx)DxDyx0+Dxy=f(x)x0xyO设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的．当自变量x在这邻域内从x0变到x0+Dx时，函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx)，因此函数y的对应增量为Dy=f(x0+Dx)-f(x0)．一、函数连续的概念变量的增量:设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果当自

2、变量的增量Dx=x-x0趋于零时，对应的函数的增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)也趋于零，即那么就称函数y=f(x)在点x0处连续．函数连续的定义:等价关系：用e-d语言叙述的函数的连续性定义：设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果对于任意给定义的正数e，总存在着正数d，使得对于适合不等式

3、x-x0

4、

5、f(x)-f(x0)

6、

7、处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续．左右连续性：左右连续与连续的关系：函数在区间上的连续性：在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．单侧连续连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.4．函数y=cosx在区间(-，+)内是连续的．3．函数y=sinx在区间(-，+)内是连

8、续的．连续函数举例：1．如果f(x)是多项式函数，则函数f(x)在区间(-，+)内是连续的．例1证由定义2知例2解右连续但不左连续,二、函数的间断点(1)在x=x0没有定义；则函数f(x)在点x0不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点．设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一：间断点的定义：为函数tanx的无穷间断点．间断点举例：所以点2p是函数tanx的间断点．xyO1x-1因为当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，xy2

9、1O1所以点x=1是函数的间断点．如果补充定义：当x=1时，令y=2，则所给函数在x=1成为连续．所以x=1称为该函数的可去间断点．xy21O1f(x)=x+1实际上，如果改变函数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则函数f(x)在x=1成为连续．所以x=1也称为该函数的可去间断点．11xyOy=f(x)=1因此x=1是函数f(x)的间断点．左右极限虽然都存在，但不相等，是函数f(x)的间断点．因函数f(x)的图形在x=0处产生我们称x=0为函数f(x)跳跃现象，所以点x=0xyO1-1的跳跃

10、间断点．通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在，（但是左右极限不相等，或者相等但不等于f（x0）或函数在该点无定义）那么x0称为函数f(x)的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点．间断点的类型:三、连续函数的运算与初等函数的连续性1.定理1有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数．=f(x0

11、)+g(x0)=F(x0)，这就证明了两个在点x0连续的函数之和在点x0连续．类似地可证明有限个函数之和的情形．证明考虑两个在点x0连续的函数f(x)、g(x)的和：F(x)=f(x)+g(x)．由函数的连续性定义，有定理1有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数；有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零．例1函数x2、sinx和cosx都在区间(-，+)内连续．由定理1，x2+sinx、x2+cosx、si

12、nx+cosx在区间(-，+)内都是连续的；x2sinx、x2cosx、sinxcosx在区间(-，+)内都是连续的；tanx和cotx在它们的定义域内是连续的．加且连续，所以它的反函数y=arcsinx在区间[-1,1]上也是单调增加且连续的．2．反函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续，那么它的反函数x=j(y)也在对应的区间Iy={y

13、y=f(x)，xIx}上单调增加（或单调减少）且连续．同样，y=arccosx在区