线性代数 第六节 利用初等变换求矩阵的秩

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1、§6利用初等变换求矩阵的秩一、矩阵的初等变换二、求矩阵的秩的初等变换法1返回一、矩阵的初等变换定义13.对矩阵Amn施行下列变换:(1).rr;ij(2).kr;(其中k为不等于零的数.)i(3).rkr.ij这三种变换称为矩阵A的初等行变换.相应的有初等列变换.(1)ccij(2)kci(3)ckcij初等行变换、初等列变换统称为初等变换.2返回例如:abcrstrr12abcArstxyzxyzrstrk2kakbkcxyz3返回rstrr31kakbkcxryszt

2、srtcc12kbkakc.ysxrzt4返回定义14.如果矩阵A经过有限次初等变换变成B,则称矩阵A与B是等价的，记作AB性质：(1)反身性：AA(2)对称性：若AB,则BA(3)传递性：若AB,BC,则ＡC5返回定理四.a11a12a1nai1ai2ain设Aaaaj1j2jnam1am2amnmn(1).若A经行变换B,则R(A)=R(B);6返回经列变换(2).若AB,则R(A)=R(B);(3).若A～—B,则R(A)R(B).证明:证(1).1

3、1irkriijAB,jjmm7返回其中k.iijB可由A线性表示.k,iijA可由B线性表示.A与B等价.行向量组等价,则行秩相等.{从而行秩=列秩=R(A)=R(B)}.证毕.8返回例如:D≠01234506789而B0,B.400432秩3.(阶梯阵)00000例.求矩阵的秩1210224266A.2102333334459返回r2r2112102r2r

4、3124266解:A.21023r43r133334451210200062032210963212102rr2303221r3r4096320006210返回12102r3r0322132000310006212102r42r303221=B000310000011返回D≠012201cc0312235C00130C0.000004R(A)3.R(A)=R(B)=R(C)

5、.12返回二、求矩阵的秩的初等变换法经有限次行变换AB(阶梯形),则B中非零行的个数r,就是A的秩,即R(A)=r.{阶梯形:每一行第一个非零元素所在列的下方全为零.}例如:已知向量组1,2,3,4,问是否线性相关,并求它的最大无关组(前例).把,,,写成矩阵.1234,,相关.1413返回[註]:1000001000E0C经过列变换3.(0化)001000000000此阵叫做A的标准形.(1).若矩阵A的秩为r(r>0),则mnEr0AI.mn00mnI称为A的标准形,其中E为r阶单位阵.r14返回

6、(2).若AB,则R(A)=R(B),从而A与B有相同的标准形.a11a1n(3).设方阵A,an1ann若A为可逆阵(即

7、A

8、≠0),则R(A)=n,从而A的标准形为n阶单位阵,即AE.15返回矩阵秩的性质:1.0R(Amn)minm,n'2.R(T)R(T)3.P0,Q0R(PAQ)R(A)4.maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)R(B)5.R(AB)R(A)R(B)6.R(AB)minR(A),R(B)8.R(AE)R(AE)n16返回