利用初等变换求下列矩阵秩

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1、习题4-11．利用初等变换求下列矩阵的秩；.2．取怎样的数值时，线性方程组有解，并求它的一般解.3．取怎样的数值时，线性方程组有唯一解，没有解，有无穷多解？在有无穷多解时，求出它的一般解.4.证明：含有2个未知量3个方程的线性方程组有解的必要条件是行列式.这个条件是充分的吗？请分析.5.设、都为矩阵，证明，秩秩的充分且必要条件是经过初等变换得到（这时我们称与等价）.6.设是一个阶矩阵，证明，在初等变换下有标准形的充分且必要条件是.7．若，，.证明：秩秩+秩.8．证明，线性方程组有解的充分必要条件是.这个命题能否推广到个未知量个方程的情形？9

2、．证明：若与同时有解，则.10．解齐次线性方程组(1)（2)11．分别求使以下齐次线性方程组有非零解.(1)(2)12．设(1)证明：若(1)有解，则又，逆命题是否成立？习题4-21．求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)(2)2.证明：如果齐次线性方程组的系数矩阵为，是矩阵中划去第列所得的矩阵的行列式，证明：(1)是方程组的一个解；(2)如果这个线性方程组的系数矩阵的秩为，那么方程组的解全是的倍数.3.给出平面上个点共线的充分必要条件.4.给出平面上条直线共点的充分必要条件.5.写出通过三点（1，2），（1，-2），（0，-1）的圆方程.

3、6.给出平面上不在一直线上的四点位于同一圆周上的充分必要条件.7.证明：的任意一个子空间都是某一个含未知量的齐次线性方程组的解空间.8.证明：的任意一个真子空间都是若干个维子空间的交.9.求以下非齐次线性方程组的通解(1)(2)(3)10.设是非齐次线性方程组的任意个解，，证明：当且仅当时，也是这个非齐次线性方程组的解.11.设是非齐次线性方程组的一个解，是它的导出组的基础解系.证明：(1)线性无关；(2)也线性无关；(3)如果是这个非齐次线性方程组的任意解，则线性无关；(4)中向量是这个非齐次线性方程组的解的充分必要条件是存在个数,，使得

4、.