武颂文《医学统计学》第十二章简单回归分析

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1、简单回归分析(Regression)武颂文研究一个连续性变量（因变量）的取值随着其它变量（自变量）的数值变化而变化的趋势通过回归方程解释两变量之间的关系显的更为精确，可以计算出自变量改变一个单位时因变量平均改变的单位数量，这是相关分析无法做到的除了描述两变量的关系以外，通过回归方程还可以进行预测和控制，这在实际工作中尤为重要Ŷ：y的估计值（所估计的平均水平），表示给定自变量的取值时，根据公式算得的y的估计值a：常数项，表示自变量取值均为0时应变量的平均水平，即回归直线在y轴上的截距(多数情况下没有实际意义，研究者也不关心)b：回归系数，在多变量

2、回归中也称偏回归系数。自变量x改变一个单位，y估计值的改变量。即回归直线的斜率。适用条件（line）线性趋势：如果不是，则不能采用线性回归来分析。这可以通过散点图来加以判断独立性：实际上就是要求残差间相互独立，不存在自相关，否则应当采用自回归模型来分析正态性：就自变量的任何一个线性组合，应变量y均服从正态分布，这实际上是要求残差ei服从正态分布方差齐性：就自变量的任何一个线性组合，应变量y的方差均相同，实质就是要求残差的方差齐参数的估计采用最小二乘法加以估计，保证在变量所构成的空间中，y的估计值和实测值之差的平方和达到最小换言之，最好的回归直线

3、应当使得残差的SS（残差平方和）达到最小知识关联：离均差平方和可以作为变异大小的测量指标，且具有可加性线性回归方程的计算例有人研究了温度对蛙的心率的影响，得到了表中所示的资料，试进行回归分析。对象温度（X）心率（Y）XYX2Y212510425241144161213611663612148141126419651022220100484612232761445297143244819610248162946425684191832576324102410203468040011561122337264841089合计1322463622202

4、46610散点图观察?有无关联趋势?是否为直线趋势?有无离群点回归方程的计算根据表中数据绘制散点图，如下图所示：2.计算回归系数与常数项在本例中:则，回归方程为3.作回归直线线性回归方程的显著性检验对线性回归方程要进行假设检验，就是要检验b是否为β=0的总体中的一个随机样本。该假设检验通常用方差分析或者t检验，两者的检验效果等价。线性回归方程的显著性检验-方差分析总变异可分解为回归贡献和剩余变异总变异：y离开均数的变异剩余变异：引进回归方程后y的变异，就是y的残差平方和，即y离开回归值的变异可以认为代表了随机误差（个体变异）的影响YP(x,y)

5、SS残SS回方差检验的基本思想:如果X与Y之间无线性回归关系，则SS回归与SS剩余都是其它随机因素对Y的影响，由此描写变异的MS回归与MS剩余应近似相等，总体回归系数β=0，反之，β≠0。于是，可用F检验对X与Y之间有无回归关系进行检验。对例题的回归方程用方差分析进行假设检验（1）建立假设检验β=0β≠0α=0.05（2）计算统计量SS总SS回归SS剩余=SS总－SS回归=88.31（3）确定P值得出统计结论查F界值表，V回归=1,V剩余=9，拒绝可以认为温度与蛙的心率之间存在线性回归关系。变异来源SSMSFP总变异1108.5410回归102

6、0.2311020.23103.97<0.01剩余88.3199.81回归方程用t检验进行假设检验（1）建立假设检验β=0β≠0α=0.05（2）计算统计量V=11－2=9（3）确定P值作结论根据V=9，3.250,P<0.01，拒绝H0.结论与F检验相同。细心的读者可以发现统计量F与t之间存在着关系。本例。决定系数R2=SS回/SS总在因变量的总变异中，回归关系所能解释的比例进行线性回归分析的注意事项⒈只有将两个内在有联系的变量放在一起进行回归分析才是有意义的。⒉作回归分析时，如果两个有内在联系的变量之间存在的是一种依存因果的关系，那么应该以

7、“因”的变量为X,以“果”的变量为Y。如果变量之间并无因果关系，则应以易于测定、较为稳定或变异较小者为X。⒊在回归分析中，因变量是随机变量，自变量既可以是随机变量（II型回归模型，两个变量应该都服从正态分布），也可以是给定的量（I型回归模型，这时，与每个X取值相对应的变量Y必须服从正态分布），如果数据不符合要求，在进行回归分析前，必须先进行变量的变换。⒋回归方程建立后必须作假设检验，只有经假设检验拒绝了无效假设，回归方程才有意义。⒌使用回归方程计算估计值时，不可把估计的范围扩大到建立方程时的自变量的取值范围之外。线性相关和回归的区别与联系区别：

8、⒈相关系数的计算只适用于两个变量都服从正态分布的情形，而在回归分析中，因变量是随机变量，自变量既可以是随机变量（II型回归模型，两个变量都应该服从正态