材料力学第7章弯曲变形

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1、第七章弯曲变形2平面弯曲时，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线，这条曲线称为梁的挠曲线。横截面形心在横向（沿y轴方向）的位移w称为挠度。挠曲线方程或挠度方程：梁的横截面与变形前横截面的夹角称为梁的转角。小变形梁可近似为转角方程§7.1梁的弯曲变形37.2梁的挠曲线近似微分方程由纯弯曲梁的曲率与弯矩的关系：曲线曲率计算公式由曲率-弯矩的符号关系：小变形梁的近似微分方程：4§7.3积分法求梁的位移对于等截面直梁一次积分得转角方程二次积分得挠曲线方程C、D积分常数，由梁上已知的挠度或转角确定，这些已知的挠度或转角称为边界条

2、件。5以图示简支梁为例以图示悬臂梁为例6例题7.1：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁，在自由端受一集中力F的作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。解：建立图示坐标系，弯矩方程为挠曲线近似微分方程两次积分，得7由悬臂梁的边界条件得积分常数转角方程挠曲线方程最大转角最大挠度8例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。解：由平衡方程得支座反力建立坐标系，得梁的弯矩方程为梁挠曲线近似微分方程9两次积分得：由简支梁的边界条件：得积分常

3、数10梁的转角方程梁的挠曲线方程最大转角最大挠度11例题7.3：图示弯曲刚度为EI的简支梁，在C点受集中力F作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。解：梁的两支座支反力AC段（0xa）:弯矩方程：挠曲线近似微分方程：积分一次：积分二次：12CB段（axl）:12弯矩方程：挠曲线近似微分方程：积分一次：积分二次：13由C点处的光滑连续条件：由梁的边界条件：14得梁AC段转角方程和挠曲线位移方程得梁CB段转角方程和挠曲线位移方程15显然，最大转角可能发生在左、右两支座处的截面，其值分别为当a>b时，

4、B支座处截面的转角绝对值为最大简支梁的最大挠度应在dw/dx=0处，由得当a>b时，则有x1

5、其任一横截面的挠度和转角等于各荷载单独作用下同一截面挠度和转角的叠加和，此为梁变形计算的叠加原理。梁在小变形条件下，其弯矩与荷载成线性关系，在线弹性范围内，挠曲线的曲率与弯矩成正比，当挠度很小时，曲率与挠度也成线性关系。18例题7.4：示简支梁，其上作用有集中力F和集度为q的均布荷载，求A截面处的点转角和梁中点C的点挠度。解：均布荷载q单独作用时：，集中力F单独作用时：，将相应的位移叠加，即得19例题7.5：图示悬臂梁，其上作用有集中力F，求自由端点C处的挠度和转角。，解：梁上BC段未受力的作用，这段梁只发生位移，没有变形，保

6、持为直线。B点的转角和挠度分别为由叠加原理20例题7.6：悬臂梁承受荷载如图示。求挠度的最大值。解：将荷载分解为图示（b）和（c）两种均布荷载的叠加。在（b）荷载作用下在（c）荷载作用下叠加217.5.1梁的刚度条件为了保证梁在荷载作用下有足够的刚度，按梁的用途，可选择梁的挠度或梁的转角为梁的刚度容许条件。对于选择挠度，通常用许可的挠度与跨长之比值作为标准。在土建工程中在机械工程中梁的许可转角[]的值一般限制在0.005~0.001rad范围内。22例题7.7：承受均布荷载的简支梁，梁截面采用22号工字钢，已知：l=6m，q

7、=4kN/m，梁的许可挠度与跨长之比值为[f/l]=1/400,弹性模量E=200GPa，试校核梁的刚度。解：由附录Ⅱ型钢表，查得22号工字钢的轴惯性矩为满足刚度要求。23例题7.8：一圆木简支梁受均布荷载如图示。已知：q=2kN/m，l=4m，E=10GPa，[]=10MPa，[f/l]=1/200；试求梁截面所需直径d。解：（1）根据正应力强度条件选择截面尺寸。正应力强度条件所需横截面的直径简支梁的最大弯矩为24（2）根据由刚度条件选择截面尺寸简支梁的最大挠度值由刚度条件所需横截面的直径为综合考虑取梁的截面直径：d＝16

8、2mm257.5.2提高梁的刚度的措施（1）增大梁的弯曲刚度EI（2）调整跨长和改变结构为了增大钢梁的弯曲刚度，梁的横截面应采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，26所谓改变结构来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静