材料力学 第06章弯曲变形

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1、弯曲变形第六章1第六章弯曲变形§6-1概述§6-2挠曲线的近似微分方程§6-3用积分法求梁的变形§6-4用叠加法求梁的变形§6-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施§6-6用变形比较法解简单超静定梁目录2§6-1概述6-136.1概述工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往往还有刚度要求，即要求它的变形不能过大。变形过大会导致加工精度、配合等就问题，因此，变形超过允许数值，也认为是一种失效。4§6-1概述5§6-1概述6§6-2挠曲线的近似微分方程1.基本概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠

2、度y：截面形心在y方向的位移向上为正转角θ：截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正6-272.挠曲线的近似微分方程推导纯弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响§6-2挠曲线的近似微分方程8由数学知识可知：略去高阶小量，得所以§6-2挠曲线的近似微分方程9由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。§6-2挠曲线的近似微分方程由于　　　是在纯弯曲的情况下得出的，而横力弯曲时横截面上是有剪力的，所以上式是在忽略剪力的情况下得到的，因此只适用于跨度远在

3、于截面高度的梁。上式是在忽略　　　，因此只适用于小变形。10§6-3用积分法求梁的变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：6-311积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件－弹簧变形§6-3用积分法求梁的变形12例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF§6-3用积分法求梁的变形134）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程

4、和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF§6-3用积分法求梁的变形14例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：§6-3用积分法求梁的变形153）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：§6-3用积分法求梁的变形164）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件§6-3用积分法求梁的变形175）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：§6-3用积分法求梁的变形186）确定最大转角和最大挠度令得，令得，§6-3用积分法求梁

5、的变形19§6-3用积分法求梁的变形积分法求梁变形时注意的几点：1、坐标原点和指向的选择坐标原点和指向的选取一般应使M（x）的表达式尽量简单，但采用x轴各左为正的坐标系时，剪力Fs与常规坐标系相差一个负号，（x轴各左为正，y轴向上为正时）正的θ角表示顺时针方向。在应用连续性条件明应注意。（考试和作业时，统一为xt轴向右为正，y轴向上为正。）2、挠曲线微分方程分段时，若两段梁的x1,x2坐标遵循如下原则时,则必有积分常数C1＝C2、D1＝D2，以使积分常数的确定较为简单。⑴x1,x2坐标具有相同的坐标原点和指向。⑵若a为常数，则积分(x-

6、a)项积分时，把(x-a)看用一个变量。20§6-3用积分法求梁的变形3、θmax和ymax所在位置的判断、对称性的利用积分法求梁变形时注意的几点：⑴悬臂梁所受截荷对固定端之矩具有相同符号时，θmax和ymax总是出现在自由端。⑵简支梁的θmax总是出现在左或右支座截面处。Ymax根据求函数极值的原下，总是出现在θ＝0的截面处。若简支梁受对称载荷作用时，则在梁跨中点截面上，θ＝0并有ymax。⑶一般地，对称结构受到对称载荷作用时，在对称截面上（该截面处不安装中间铰），转角为021讨论积分法求变形有什么优缺点？§6-3用积分法求梁的变形2

7、2§6-4用叠加法求梁的变形设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，6-423故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。§6-4用叠加法求梁的变形24例3已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠

8、度和B截面的转角。解§6-4用叠加法求梁的变形25yC1yC2yC33）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和§6-4用叠加法求梁的变形26例4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度y