机械工程控制基础机械工程控制基础第三章线性系统的时域分析(第1讲)

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1、控制理论基础AutomaticControltheory●学时与学分：48/3●基本教学内容与学时安排一．绪论2学时二．自动控制系统的数学模型7学时三．时间响应分析8学时四．频率特性分析8学时五．系统的稳定性8学时六．系统的性能指标与校正7学时七．线性离散系统8学时第三章时间响应分析在建立系统的数学模型（包括微分方程与传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性。时间响应分析是重要的方法之一。本章内容1.概括地讨论系统的时间响应及其组成。因为这是正确进行时间响应分析的基础；所谓系统的时间响应及其组成就是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们完全反映系统本身的固

2、有特性与系统在输入作用下的动态历程；2.典型的输入信号;及一阶、二阶系统的典型时间响应。典型输入信号便于进行时间响应分析；任何高阶系统均可化为零阶、一阶、二阶系统等的组合；任何输入产生的时间响应均可由典型输入信号产生的典型时间响应而求得；3.1时间响应及其组成首先来分析最简单的振动系统，即无阻尼的单自由度系统。如图3.1.1所示，质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统在外力Fcoswt的作用下，系统的动力学方程为3.1.1:图3.1.1单自由度的m-k系统（3.1.1）这一非齐次常微分方程的完全解由两部分组成：式中，是齐次微分方程的通解；是其一个特解。由理论力学与微分方程中解的理论知：式中

3、，，为系统的无阻尼固有频率。将式（3.1.4）代入式(3.1.1)，有化简得，式中，于是，式（3.1.1）的完全解为（3.1.2）（3.1.3）（3.1.4）（3.1.5）（3.1.6）求解常数A与B：将上式对t求导，有设时，，代入式（3.1.6）与（3.1.7），联立解得：代入式（3.1.6），整理得通解：第一、二项:初始条件（初始状态）引起自由响应，第三项:作用力引起的自由响应，其振动频率均为Wn，幅值受到F的影。第四项:作用力引起的强迫响应，其振动频率为作用力频率W.（3.1.7）（3.1.8）系统的时间响应分类:振动性质:自由响应强迫响应;振动来源:零输入响应（初态”引起的自由响

4、应）零状态响应（仅由输入引起的响应）。控制工程主要研究:零状态响。一般的情况，设系统的动力学方程为：方程的解（时间响应）为通解（即自由响应）与特解（即强迫响应）所组成，若式（3.1.9）的齐次方程的特征根各相同，则而又分为两部分，即第一项:初态引起的自由响应；第二项:输入引起的自由响应，（3.1.9）（3.1.10）（3.1.11）全解:其中:n和只取决于系统的结构与参数。当输入函数有导数项:方程为：利用线性原理:利用方程(3.1.9)的解[3.1.12）]，可分别求出作用时的响应函数，然后叠加，就可以求得方程（3.1.13）的解，即系统的响应函数。传递函数(初态为零)求解:Laplac

5、e逆变换就是系统的零状态响应。（3.1.12）（3.1.13）瞬态响应：若所的，自由响应随着时间逐渐衰减,当时自由响应则趋于零,系统稳定,自由响应称为瞬态响应.反之，只要有一个，即传递函数的相应极点在复数[s]平面右半平面，自由响应随着时间逐渐增大，当时，自由响应也趋于无限大,系统不稳定，自由响应就不是瞬态响应。稳态响应:指强迫响应。稳定性、响应快速性、响应准确性:与自由响应密切相关的。的正负:决定自由响应是衰减与发散，系统稳定与不稳定；为负时,其绝对值的大小:决定自由响应衰减速度，及系统响应趋于稳态响应的速度；:决定自由响应的振荡情况，决定系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，影响

6、响应的准确性。3.2典型输入信号确定性信号和非确定性信号:确定性信号：变量和自变量之间的关系能够用一确定性函数描述。非确定性信号则反之，变量与自变量之间的关系是随机的，只服从某些统计规律。分析和设计系统:采用典型输入信号，比较其时间响应。任意输入信号的时间响应:利用系统对典型输入信号的响应，由关系式或（*表卷积），就能求出。输入信号：正常工作输入信号；外加测试信号;单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、正弦函数和某些随机函数。a单位脉冲函数b单位阶跃函数c单位斜坡函数d单位抛物线函数e正弦函数f随机函数图3.2.1典型输入信号单位阶跃函数:其导数为零，对控制系统只给出

7、了位置，故称位置输入信号；单位斜坡函数:其导数为常数，一般称为恒速输入信号或速度输入信号；单位抛物线函数:其二次导数为常数，称为加速度输入信号。下面分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单位阶跃函数的时间响应3.3一阶系统一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式为：T称为一阶系统的时间常数，它表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性，亦称一阶系统的特征参数一．一阶系统的单位脉冲响应输入信号是理想的单位脉冲函数时