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《2017届高三数学跨越一本线(文理通用):问题5.2数列中的最值问题(原卷版)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2017届高三数学跨越一本线精品问题二:数列中的最值问题数列中的最值常见题型有:求数列的最大项或最小项、与S”有关的最值、求满足数列的特定条件的比最值、求满足条件的参数的最值、实际问题屮的最值及新定义题型屮的最值问题等.题型一:求数列的最大项或最小项[禺-1W臼〃,求数列中的最大项的基本方法是:(1)利用不等式组、(〃22)确定数列的最大〔禺三日卄1[8n—1曰小项;(2)利用不等式组一522)确定数列的最小项.(3)利用函数或数列单调性求匕W禺+i最大项或最小项.【例1]己知数列{%}的通项公式
2、为a广。,求{色}的最大项・n+156■an>【分析】思路1:利用基本不等式求解.思路2:求满足彳”的比的值.a»%【解法一】基本不等式法.a=——=——,因为川+口^>2nx^-;当1=1.仅当川=丄西,即n=吋,h+156斤
3、156nnn而,V144-―3解得^<13或n巴12rT+156(用+1),+156②当以让即;7五z77+1(77-I)2+156由于neN*,
4、所以川=12或川=13时a川最犬.【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足彳””和的〃的值,从而—色-1找到最大项【小试牛刀】在数列&}中,禺=(刀+1)借^(〃GN*).(1)求证:数列{崩先递增,后递减;(2)求数列{/}的最大项.题型二:数列前刀项和最值问题公差不为0的等差数列的前刀项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不犬,求等差数列前门项和最值的方法有:⑴利用中项的单调性,求出其正负转折项•⑵利用二次函数的性质求最值.公差不为0的等差数列的前〃项和S.=
5、Arf+Bn^B为常数).(3)利Sn^Sn-y第恥求吠的最值.【例2]在等差数列仙中,岔=7,公差为d前刀项和为当且仅当/2=8时$取最大值,则d的取值范圉是【分析】知幼和$最尢可以求出$关于d的表达式是关于77的二次函数,再用二次函数的最值来解决;还可用匸最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大.【解析】(2)方法一(通法):由于AT":。「;设f(x)=少+则其團象的对称轴为直线x=#-寸当且仅当8时9取得最大直故7・5<扌一品・5,7解得_1<水一录7方法二(优法):由题意,得
6、越>0,^<0,所以7+7力0,且7+8水0,即一1〈水一RO【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】设等差数列{陽}的前〃项和为S”,且满足S[7>0,S18<0,则色,虽,…,Sqa215中最大的项为()A.爼a7D.泡Q[0题型三:求满足数列的特定条件的〃最值【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{%}是等差数列,若《V-1,且它的前n项和S”有最大值,那么当S”取得最小正值时,n等于()A.17B.16C.15D.14【分析】利用等差数列的性质求前〃
7、项和的最值.【解析】・・•数列{坷}的前n项和有最大值,.••数列{色}为递减数列,又鱼<-1,>0,他v°且玛+@v°,又S]5=以"+。15)-15込>0,516="⑷+=S(as+a9)<0,22故当/?=15时,S”取得最小正值,故选C.【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列仪”}各项为正数,且。2=4同,%严尤+2色(朋“).(I)证明:数列{log3(l+d”)}为等比数列;(II)令btt=log3(1+,数列他}的前h项和为7;,求使7;〉345成立吋n的最小值.
8、题型四:求满足条件的参数的最值【例4】【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知S”为各项均为正数的数列{色}的前〃项和,4g(0,2)&+3g”+2=6S“.(1)求{①}的通项公式;(2)设bn=—,数列他}的前n项和为7;,若对V«gNt<47;恒成立,求实数t的最大值.【分析】(1)首先求得®的值,然后利用jLS”的关系推出数列{%}为等差数列,由此求得{an}的通项公式;(2)首先结合(1)求得仇的表达式,然后用裂项法求得7;,再根据数列{7;}的单调性求得f的最大值.【解析】⑴当h
9、=1时,由q;+3°尢+2=6Sn9得oj+3兔+2=6%即oj-3°]+2=0.又axe(0s2),解得©=1・由a;+3an+2=6S^可知a;』+3%+2=6SnA.两式相减,得归一恋+3(%-4)=6a“即(%+冷)(%-禺一3)=0•由于冷>0,可得^>2-1-^-3=0,即a—]-冬=3,所以{$}是首项为1,公差为3的等差数列,所以勺=1+3S-1)=3川-2・⑵由an=3/?-2,可得£fl<11)1+<4)<4_7>(11Yn<3^-23〃+1丿3斤+1(3〃一2