《金版学案》数学理一轮练习：2.12导数的综合应用含解析

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1、第十二节导数的综合应用【最新考纲】会用导数解决实际问题，能利用导数解决函数的零点、不等式恒成立或证明问题.•夯实双基1©I基础梳理1.生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是］值点.1.利用导数解决生活中的优化问题的基本思路优化问题用函数表示数学问题优化问题答案一用导数解决数学问题2.导数在研究方程（不等式）中的应用研究函数的单调性和极（最）值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不

2、等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题、利用导数进行研究.©I学情自测1.（质疑夯基）判断下列结论的正误.（正确的打“厂，错误的(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解.()(2)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点.()(3)函数F(x)=f(x)—g(x)的最小值大于0,则f(x)>g(x)・()(4)“存在xe(a,b),使f(x)W的含义是“任意xe(a,b),使・()答案：⑴X(2)7⑶丿⑷X1.已知某生产厂家的年利润

3、y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=—

4、^+81x—234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()B.11万件A.13万件C.9万件D.7万件解析：yr=—x2+81,令y，=0得x=9或x=—9(舍去).当xG(0,9)时，y‘>0,当xe(9,+8)时，f<0,则当x=9时，y有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.答案=C3.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是解析：由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可，f‘(

5、x)=3x2-3,令3x2—3=0,得*=±1,只需f(-i).f(l)<0,即(a+2)(a-2)<0,故ae(-2,2).答案：(-2,2)Inv1.若f(x)=~—,00,即fr(x)>0,/.f(x)在(0,e)上为增函数,又T0

6、2n=2nrh+2nr2,所以rh+r2=6.所以V=n/11=ttr(6—r2)(00;当时，Vz<0.所以当r=^2时，V取极大值，也是最大值，此时h=2&,所以r:h=l:2.答案：1:2［名师微博•通法领悟｝_个“构造”把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法.两个转化一是利用导数研究含参数函数的单调性问题，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、

7、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.两点注意1.注意实际问题中函数定义域的确定.2.如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是］•houxunli*n•高效提能」分层集训I单独成册一、选择题1.(2016潍坊模拟)方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是()A・3B・2C・1D・0解析:设f(x)=x3-6x2+9x-10,f,(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x一3),由此可知函数的极大值为f(l)=-6<0,极小值为f(3)=-10<0,所以方程

8、x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1个.答案:C2.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是RI400x—tx2,(0WxW400),“乂_、、目亠—一亠曰口=R(x)=S2则总利润最大时，年产量是180000,(x>400),()A・100B・150C.200D.300解析：由题意，总成本函数为C=C(x)=20000+100x,总利润P(x)=^7—2。呗庆点400〉，160000-100x,(x>400),又Pr(x)

9、=1300—x,l-ioo,(0WxW400〉Cx>400),令Pr(x)=0,得x=300,易知x=300时，总利润P(x)最大.答案:D3.若存在正数x使2x(x-a)x—以.令f(x)=x-*,Afz(x)=14-2"xln2>0.f(x)在(0,+8)上单调递增，Af(x)>f(O)=O-l=-l,/.a