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1、专題七二次函数与毎函数【考情解读】1•考查三个“二次”的联系和应用；2.以5种幕函数为载体，考查幕函数的概念、图象、性质，多以客观题的形式出现；3.和其他知识交汇，以解答题形式考查综合应用.【重点知识梳理】1.一次函数与二次函数的解析式(1)一次函数：y=kx+b(k,b为常数,且舜0).(2)二次函数①一般式：X-x)=+bx+c_(a^0).②顶点式:f(x)=a(x—m)2+n(a/0).③零点式：/(x)=a(x—xj(x—也)_(狞0).2.一次函数与二次函数的定义及性质函数一次函数二次函数解析式y=kx-~b(絆0)y
2、=ax2+bx+c(。丸)图彖A>0K0a>0a<0•b>0*b>0梓b<0,少0b>0,c<0定义域RR值域RAac—b1[4a，+°°)4ac~b2(-g'4a1单调性在(一00,+co)上是增函数在(一8,+00)上是减函数在(2』上是减函数；在［—绘，+oo)上是增函数在(一00,—守］上是增函数；在［—给，+8)上是减函数3.常用幕函数的图彖与性质函数性质y=x1尹=迈1图象V平7^VX7TOx冷OX定义域RRR[0,+oo){xx^R且時0}值域R[0,+oo)R[0,+oo)且舛0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶
3、函数.奇函数单调性增xe[0,+s)时，增；xW(—co,0]时，减增增xG(0,+oc)时，减；X^(—00,0)时，减【高频考点突破】考点一求二次函数的解析式例1、(1)/(1+x)=/(l—x)；(2)/(x)的最大值为15；(3)/(x)=0的两根平方和等于17.求/(兀)的解析式.【拓展提高】二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果.【变式探究】已知二次函数兀工)同时满足条件：考点二二次函数的图象与性质例2、己知函
4、数J(x)=x2+2ax+3fx^[—4,6].⑴当2吋，求./(X)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y=f{x)在区间[一4向上是单调函数；(3)当。=1时，求/(
5、x
6、)的单调区间.【拓展提高】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定•、轴定区间动，不论哪种•类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据対称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图彖的对称轴进行分析讨论求解.【变式探究】若函数J(x)=2x2+mx-在区间[―1,+oo)上递增，
7、则./(-!)的取值范围是.考点三二次函数的综合应用例3、已知函数J(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且几一1+兀)=/(—1—x)对任意实数都成立，函数y=g(x)与y=J{x)的图彖关于原点对称.⑴求/(X)与g(x)的解析式；(1)若F(x)=g(x)—〃(x)在(一1,1]上是增函数，求实数久的取值范围.【拓展提高】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们•常结合在一起，而二次函数又是“三个二次"的核心，通过二次函数的图象贯穿为--体.因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效
8、方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.考点四幕函数的图象和性质例4、己知幕函数f[x)=xm2-2m~3(meN*)的图象关于y轴对称，且在(0,+oo)上是减函数，求满足(°+1)—#<(3—2°)—扌的a的取值范闱・【拓展捉高】(1)幕函数解析式一定要设为(0为常数的形式)；(2)可以借助幕函数的图象理解函数的对称性、单调性.【变式探究】已知幕函数./(x)=x("/+加)-】伽wn)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2,迈)，试确定加的值，并求
9、满足条件./(2—°)>@一1)的•实数a的取值范围.【真题感悟】1.(2014-江苏卷)己知函数.f[x.)=x2+nix—1,若对于任意x^[mfw+1],都有.心)<0成立，则实数加的収值范围是2.(2014-全国卷)函数y=cos2x+2sinx的•最大值为.3.(2013-湖南卷)函数f(.x)=21nx的图像与函数g(x)=x2-4x+5的图像的交点个数为()A.3B.2C.1D.0【押题专练】1.设函数fix)=a^+2x—3在区间(一oo,4)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是.2.已知点(*‘2)在幕函数y=f
10、{x)的图象上，点(一2,在幕函数y=g(x)的图象上，则./(2)+g(—1)=.3.当。=时，函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[一1,1],值域为[-2,2].4.设fix)=x2-2ax+2,当皿[一1,+©时，.心)》
