专题五　幂函数与二次函数.doc

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1、专题五　幂函数与二次函数11自主梳理1．幂函数（1）定义：形如的函数叫幂函数，其中x是自变量，a是常数．（2）图象：（幂函数在第一象限的图象如右图，在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出）（3）性质：①幂函数在(0，＋∞)上都有定义;　②幂函数的图象都过点(1,1)；③当a>0时，幂函数的图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上是单调递增；④当a<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)在(0，＋∞)上是单调递减．⑤五种幂函数的性质比较幂函数定义域ＲＲＲ值域ＲＲ奇偶性单调性定点2．二次函数的图象和性质解

2、析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上单调递减在x∈上单调递增在x∈上单调递增在x∈上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数顶点9对称性图象关于直线x＝－成轴对称图形自我检测1.如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为(　　)．A．－2，－，，2　　B．2，，－，－2　C．－，－2,2，　　　D．2，，－2，－2．设函数f(x)＝若f(α)

3、＝4，则实数α等于(　　)．A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或23．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)．4．(2012·湖北)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)．A.　　B.　　C.　　D.5．(2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)

4、的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)<(3－2a)的a的取值范围．变式迁移1　已知幂函数f(x)的图象过点(，2)，幂函数g(x)的图象过点.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)当x为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范

5、围．9变式迁移2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数．探究点三二次函数的图象和性质【例3】►已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数;(3)当a＝1时，求f(

6、x

7、)的单调区间．变式迁移3　求函数y＝x2－2ax－1在x∈[0,2]时的值域.探究点四　　二次函数零点（一元二次方程的根）的分布【例4】为何值时，.(1)有且仅有一个零点；(2)

8、有两个零点且均比－1大．变式迁移41．取何值时，方程的一根大于，一根小于．2．若关于的方程在有解，则实数的取值范围是________．探究点五　二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题【例5】若不等式对于一切成立，则的取值范围是__________．变式迁移51.若方程的解为(-1,3)，求实数的值.2.设函数，对于满足的一切值都有，求实数的取值范围.3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2，对于任意x∈[t－2，t]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是_______

9、_．94．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，则b＋c的最大值是________．【知识点】1.二次函数的概念、图象及性质；2.一元二次方程的实根分布；3.二次函数的区间最值；4.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系.【主要方法】讨论二次函数在指定区间上的最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在区间上的单调性.2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．3.关于二元不等式恒成立问题的求解技巧（1）变

10、换主元法：求解二元不等式,在其中一个元所在范围内恒成立问题，当正面思考较繁或难以入手时，我们可以变换主元，将问题转化为求解关于另一个变量的函数的最值或值域问题，从而求解.（2）分离参数法：根据题设条件将参数（或含有参数的式子）分离到不等式的左边，从而将问题转化为求不等式右边函数的最值问题.A级基础演练一