2020版幂函数及其性质专题教案 .docx

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1、星辰教育培训中心幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数.如11234yx,yx,yx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、函数的图像和性质12（1）yx（2）yx（3）yx2（4）yx1（5）yx3用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：2yxyxyx311yx2yx定义域奇偶性在第Ⅰ象限单调增减性定点（公共点）3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点

2、，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.三．两类基本函数的归纳比较：①定义对数函数的定义：一般地，我们把函数ylogx（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是a自变量，函数的定义域是（0，+∞）．幂函数的定义：一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数.②性质对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R；-1-星辰教育培训中心过点（1，0），即当x=1，y=0；在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）

3、x＞0时，幂函数的图象都通过原点，在[0，+∞]上，yx、2yx、3yx、1yx2是增函数，在（0，+∞）上，yx1是减函数。【例题选讲】例1．已知函数2fxmm1x5m3，当m为何值时，fx：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是0,上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；42简解：（1）m2或m1（2）m1（3）m（4）m（5）m155变式训练：已知函数2fxm2m2mmx3，当m为何值时，fx在第一象限内它的图像是上升曲线。2mm0简解：2解得：m,13,m2m30小结与拓展：要牢记幂函数的

4、定义，列出等式或不等式求解。例2．比较大小：11（1）1.52,1.72（2）(1.2)3,(1.25)3（3）5.251,5.261,5.262（4）0.53,30.5,log0.5321113解：（1）∵yx在[0,)上是增函数，1.51.7，∴1.521.72（2）∵yx在R上是增函数，1.21.25，∴31(1.2)311(1.25)（3）∵yx在(0,)上是减函数，5.255.26，∴5.255.26；∵y5.26x是增函数，12，∴125.265.26；综上，15.2515.2625.26（4）∵300.5

5、0.5，131，log30.50，∴30.5log30.50.53-2-星辰教育培训中心例3．已知幂函数2m2myx3（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．解：∵幂函数2m2myx3（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，2∴m2m30，∴1m3；∵mZ，∴(m22m3)Z，又函数图象关于原点对称，∴m22m3是奇数，∴m0或m2．3例4、设函数f（x）＝x，－1（1）求它的反函数；（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f（x）＜f（x）的实数x的范围．1解析：（1）由y＝x3两边同时开三

6、次方得x＝3y，∴f－1（x）＝x3．1（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x3的图象都经过点（0，0）和（1，1）．∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．2例5、求函数y＝x51＋2x5＋4（x≥－32）值域．1解析：设t＝x5，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．当t＝－1时，ymin＝

7、3．21∴函数y＝x5＋2x5＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．【同步练习】11.下列函数中不是幂函数的是（）Ａ．yxＢ．yx3Ｃ．y2xＤ．yx答案：Ｃ2.下列函数在,0上为减函数的是（）13Ａ．yx2Ｂ．yxＣ．32yxＤ．yx答案：Ｂ-3-星辰教育培训中心3.下列幂函数中定义域为xx0的是（）2Ａ．yx33Ｂ．yx22Ｃ．yx33Ｄ．yx2答案：Ｄ1－24．函数y＝（x－2x）2的定义域是（）A．{x

8、x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］D．（0

9、，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．答案：