专题导数与函数的单调性、极值理科学生版

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1、专题十四导数与函数的单调性、极值【考情解读】1•了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极人值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).【重点知识梳理】1.函数的单调性在某个区间(a,b)內，如果/(x)>0,那么函数y=/U)在这个区间内单调递增；如果/(x)<0,那么函数y=J(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)判断/(也)是极值的方法一般地，当函数.几r)在点旳处

2、连续时，①如果在兀o附近的左侧于(兀)>0，右侧.f⑴<0,那么_/Uo)是极大值；②如果在兀o附近的左侧/W<0,右侧/(x)>0,那么夬也)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求/(小②求方程/(力=0的根；③检查才⑴在方程才⑴=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么夬兀)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么./U)在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)在闭区间［a,切上连续的函数7U)在［a，b］上必有最大值与最小值.(2)若函数乐)在0,切上单调递增，则弘)为函数的最小值，恥)为

3、函数的最大值；若函数几兀)在s，切上单调递减，则/(d)为函数的最大值，夬仍为函数的最小值.(3)设函数7U)在S，切上连续，在(a,b)内可导，求.心)在S，饲上的最大值和最小值的步骤如下：①求./(兀)在(a,b)内的极值；②将./(兀)的各极值与/S)，./(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【高频考点突破】考点一利用导数研究函数的单调性例1己知函数处一1.⑴求7W的单调增区间;(2)是否存在°,使.心)在(一2,3)上为减濒数,若存在，求出d的取值范围，若不存在，请说明理由.【拓

4、展提高】(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)Li知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)/(兀)为增函数的充要条件是对任意的b)都有几谚0且在(a,b)内的任一非空子区间上于(兀)不恒为零.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.【变式探究】(1)设函数*3-(l+d)/+4ar+24d,其中常数°>1,则.心)的单调减区间为(2)已知6/>0,函数f(x)=^—ax在［1,+8)上是单调递增函数，则a的取值范围是考点二利用导数求函数的极值例2设.心)=］；/，其屮a为正实数.4⑴

5、当a=3时，求/!>)的极值点；(2)若夬兀)为R上的单调函数，求。的取值范围.【拓展提升】(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点.(2)若函数y=J(x)在区间(q,b)内有极值，那么在(a,b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.考点三利用导数求函数的最值例3(20140川改编)己知函数j[x)=e-a^-bx-,其中a,WR,e=2.71828…为自然对数的底数.设g(x)是函数/W的导函数，求函数g(x)在区间[0,

6、1]上的最小值.【拓展提升】(1)求解函数的最值时，要先求函数y=j[x)在(a,b)内所有使才(无)=0的点，再计算函数y=Ax)在区间内所有使f(x)=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.【真题感悟】1.【2015高考江苏，19】(本小题满分16分)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,bwR).(1)试讨论/(x)的单调性；(2)^b=c-a(实数c是a与无关的常数)，当函数/(x)有三个不同的零点时，a33的取值范围恰好是(—-3)U(1,-)

7、U(-,+-),求c的值.21.【2015咼考四川，理21】己知函数f(%)=—2(x+d)Inx+f—2cix—2cr+ci,其中a>0.(1)设g(x)是/(x)的导函数，评论g(x)的单调性；(2)证明：存在处(0,1),使得/(x)>0在区间(l,+oo)内恒成立，且f(x)=0在(1,+°°)内有唯一解.2.[2015高考广东,理19】设tz>1,函数/(x)=(l+x2)^v-a.(1)求/(x)的单调区间；(2)证明：/(兀)在(-8,+g)上仅有一个零点；(3)若曲线y=/(x)在点P处的切线与

8、兀轴平行，且在点处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m

9、若K(x)

10、>ax,则a的収值In(x十1),x>0.范围是()A.(—oo,0]B.(—oo