导数与函数的单调性极值最值.doc

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1、§3.2　导数与函数的单调性、极值、最值教学目标1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。学习内容知识梳理1．函数的单调性设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数；如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数．2．函数的极值已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近所有点x，都有f(x)

2、称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果在x0附近都有f(x)>f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．3．求可导函数极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；(3)考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)符号不变，则f

3、(x0)不是极值．4．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例题讲解题型一　利用导数研究函数的单调性例1　已知函数f(x)＝ex－ax－1.(

4、1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维启迪　函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解　f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间是[lna，＋∞)．(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2

5、a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．思维升华　(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．巩固　(1)设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a>1，则f(x)的单调减区间

6、为________．答案　(2,2a)解析　f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，由a>1知，当x<2时，f′(x)>0，故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数；当22a时，f′(x)>0，故f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数．(2)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．答案　(－∞，－1]解析　转

7、化为f′(x)＝－x＋≤0在[－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，所以g(x)min＝－1，则b的取值范围是(－∞，－1]．题型二　利用导数求函数的极值例2　设a>0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．思维启迪　(1)通过f′(2)的值确定a；(2)解f′(x)＝0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值．解　(1)由已知，得x>0，f′(x)＝x－(a＋1)＋，y＝

8、f(x)在(2，f(2)