数学奥林匹克初中训练题1及答案

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1、数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.设73+a/2+V3+a/6=y[x+^[y+Vz,且x、y^z为有理数则xyz=().(A)3/4(B)5/6(C)7/12(D)13/182若x、y、z均为实数，且满足一艺——+兰——+琴——=1,(y+z)(z+x)(z+x)(x+y)(x+y)(y+z)则X、y、z的取值情况是().(A)全为正数(B)全为非负数(C)全为负数(D)有且仅有一个为零3.方程

2、xy

3、+

4、x+y

5、=1的整数解的组数为().(A)2(B)4(C)6(D)84.a^b是方程x2

6、+(m-5)x+7=0的两个根.贝,J(a24-ma+7)(b2+mb4-7)=().(A)365(B)245(C)210(D)1755.设a、b为正整数，且a+b、a+5、b-2是某个直角三角形的三边长•则正整数对(a,b)的个数是()个.(A)0(B)l(C)2(D)36.从1,2,13中取出k个不同的数，使这k个数中任两个数Z差既不等于5,也不等于8贝Jk的最大值为().(A)5(B)6(C)7(D)8二、填空题(每小题7分，共28分)1•若整系数一元二次方程x?+(a+3)x+2a+3=0有一正根X]和一负根x2,且

7、

8、xl

9、<

10、x2

11、,则a=.2.当x=^29"3Bt,代数式x4+5x3-3x2-8x+9的值是23•给定两组数,A组为:1,2100;B组为:卩，2?,…，IO。'.对于A组中的数x,若有B组中的数y,使x+y也是B组中的数，则称x为“关联数二那么，A组中这样的关联数有个.4•己知△ABC的三边长分别为AB=2Va2+576,BC=7a24-14a4-625,AC=Va2-14a+625,其中a>7.贝ijAABC的而积为•第二试一、(20分)解方程:(12x+5)2(6x-l)(x+l)=—.2二.(20分)已知m、n均

12、为正整数，且m>n,2006m2+m-2007n2+n.问m-n是否为完全平方数?并证明你的结论.三、(25分)己知k为常数，关于x的一元二次方程(k2-2k)x2+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值.数学奥林匹克初中训练题1参考答案第一试I.A.两边平方得3+V2+V3+V6=x+y+z+2^xy+2^[yz+2yfxz.根据有理数x、y、z的对称性,可考虑方程组x+y+z=3,2/^=V2,2^[yz=V3,2y[xz=V6.解得x=l,y=l/2,z=3/2.此时,xyz=3/4.1.B.注意到f(l)=2a

13、+1,f(3)=12a+1,f(f(l))=a(2a+1)2+a(2a+1)+1.由f(f(l))=f(3),得(2a+l)2+(2a+l)=12.所以,2a+l=3或4因a<0,故2a=-5.2.C.因x、y为整数侧

14、xy

15、、

16、x+y

17、为非负整数.于是,

18、xy

19、、

20、x+y

21、中一个为0,—个为1.分情形考虑得6组解.3.D.由ab=7,a2+ma+7=5a,b2+mb4-7=5b,所以,(a2+ma+7)(b2+mb+7)=25ab=175.4.C.记两圆公共部分的而积为S.如图，易知S=S扇形ead+S扇形FAD-S四边形

22、AEDF=5兀/6-V3.5.B.105将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图5).若取出的数多于6个,则必有2个数在岡周上相邻.另一方面，可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可)，因此,k的最大值为6.二、1.-2.因方程的两根不等，故A>0,B

23、J(a+3)2>4(2a+3).M得a>3或av・l.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负，即・(a+3)v0,2a+3<0.从ffu,a>-3,a<-3/2,BP-3

24、x2+3x-5=O的根，23.73.记x+y=a]y=b]贝ljl