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1、数学奥林匹克初中训练题(六)第一试一.选择题.(每小题7分,共42分)()1.设是实数,且,则等于:(A)(B)(C)(D)()2.适合于的非负整数对的个数是:(A)1(B)2(C)3(D)4()3.如图1,凸五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O,ABCD是矩形,AE=ED,且BE和CE把AD三等分.则此五边形ABCDE的面积是:(A)(B)(C)(D)()4.若关于的不等式的解中包含了””,则实数的取值范围是:(A)(B)或(C)或(D)或()5.如图2,在ΔABC中,M是边AB的中点,N是边AC上的
2、点,且,CM与BN相交于点K.若ΔBCK的面积等于1,则ΔABC的面积等于:(A)3(B)(C)4(D)()6.设为实数,且,抛物线与轴交于A,B两点,与轴交于点C,且抛物线的顶点在直线上.若ΔABC是直角三角形,则RtΔABC面积的最大值是:(A)1(B)(C)2(D)3二.填空题.(每小题7分,共28分)1.设是实数,则函数的最小值是.2.方程的两根为,且,则有序实数组共有个.3.若,则.4.如图3,正ΔEFG内接于正方形ABCD,其中E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若则.第二试一.(20分)
3、如图4,在锐角ΔABC内有一点P,直线AP,BP,CP分别交对边于Q1,Q2,Q3,且∠PQ1C=∠PQ2A=∠PQ3B.试问:点P是否必为ΔABC的垂心?如果是,请证明;如果不是,请举反例说明.二.(25分)设为素数,是正整数.求证:方程至少有一个整数根的充分必要条件是三.(25分)是否存在这样的正整数,使得能整除?请说明理由.
