2019-2020年高三第一次统一考试数学理

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1、2019-2020年高三第一次统一考试数学理本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共40分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的球的体积公式概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）不等式的解集是（）A.B.C.D.（2）在下列给定的区间中，使函数单调递增

2、的区间是（）A.B.C.D.（3）已知直线a、b和平面M，则的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.与平面M成等角（4）数列的前n项和为，则这个数列一定是（）A.等差数列B.非等差数列C.常数数列D.等差数列或常数数列（5）设分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离是（）A.B.C.D.（6）定义运算，则符合条件的复数z为（）A.B.C.D.（7）已知函数，则的反函数为（）A.B.C.D.（8）有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）A.B.C.D.第II卷（非选择题共

3、110分）二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。将答案填在题中横线上。（9）函数的最小正周期是__________，其图象的相邻两条对称轴之间的距离是____________。（10）将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为__________，球的表面积为__________（不计损耗）。（11）圆C：（为参数）的普通方程为__________，设O为坐标原点，点M（）在C上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为________________。（12）设P（x，y）是图中四边形内的点或四边形边界上的点（即x、y满足的约束条件），则的最大

4、值是__________。（13）某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8。现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击。如果只有3发子弹，则射击次数的数学期望为_____________（用数字作答）。（14）已知函数是R上的减函数，A（0，-3），B（-2，3）是其图象上的两点，那么不等式的解集是____________________。三.解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分14分）已知函数（I）证明：函数是奇函数；（II）求的单调区间。（16）（本小题满分14分）已知（I）求的值；（II）求证：与互相垂直；（III）设且，求的

5、值。（17）（本小题满分14分）某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用五局三胜制，即哪个队先胜三场即可获得总冠军。已知在每一场比赛中，甲队获胜的概率均为，乙队获胜的概率均为。求：（I）甲队以3：0获胜的概率；（II）甲队获得总冠军的概率。（18）（本小题满分14分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，，E是A1C的中点，且交AC于D，。（I）证明：平面；（II）证明：平面；（III）求平面与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）。（19）（本小题满分12分）自点A（0，-1）向抛物线作切线AB，切点为B，且点B在第一象限，再过线段AB的中点M作直线与抛物线C交于

6、不同的两点E、F，直线AF、AE分别交抛物线C于P、Q两点。（I）求切线AB的方程及切点B的坐标；（II）证明（20）（本小题满分12分）把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：1357911—————————设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数。（I）若，求的值；（II）已知函数的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为，求数列的前n项和。朝阳区高三第一次统一考试数学（理工农医类）参考答案及评分标准一.选择题：1.C2.A3.D4.B5.D6.A7.C8.B二.填空题：9.，10.11.，12.213.1.2414.三.解答题：15.

7、解：（I）证明：显然的定义域是R。设任意，，4分函数是奇函数6分（II）解：，8分令，由，解得10分由此可知，当时，，所以函数的单调增区间是（-1，1）；12分当或时，，所以函数的单调减区间分别是（，-1），（1，）14分（写出的区间，无论是否包含端点均可给分。）16.解：（I）解：3分（II）证明：6分，8分（III）解：，10分，12分又14分17.解：（I）设“甲队以3：0获胜”为事件A，则3分（II）