1.1正弦定理的证明与简单应用

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1、3.1正弦定理正弦定理近测高塔远看山，量天度海只等闲；古有九章勾股法，今看三角正余弦。ABC如何测量A、B两点间的距离？（给定你米尺和量角器）定义：把三角形的三个角A，B，C和三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。ABCabc解三角形就是：由已知的边和角，求未知的边和角。1、边的关系：2、角的关系：1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边.2）在直角三角形中：a2+b2=c21）A+B+C=1800一、回顾三角形中的边角关系:ABCabc斜三角形中这一关系式是否仍成立呢?2）在直角三角形ABC中,C=900,则3、边角关系：1）大边

2、对大角，大角对大边，等边对等角.可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则同理可得从而再看钝角三角形的情况:如图，当△ABC是钝角三角形时，延长AB作AB的高CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=bsinA,在△BCD中，CD=asin(180－B)=asinB.因此所以同理可得从而过A作单位向量垂直,ACBabc所以所以同样可证得：则证法二：(向量法)证法三：(外接圆法)如图所示,作ABC外接圆则∴同理∴（R为ABC外接圆半径）ABCabcOD∠A=∠D证明：∵BACDabc而∴同理∴

3、ha证法四：(面积法)正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即：(其中R是外接圆的半径)(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；(3)sinA:sinB:sinC=a:b:c；注意:正弦定理在解斜三角形中的两类应用:(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边)ABaCAaabB例1.在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，则b＝________.练习：1.在△ABC中,已知A＝60°，B＝45°，c＝2，求C，a，b.2．已知△ABC中，a＝20，A＝3

4、0°，C＝45°，求B，b，c.3：在△ABC中，已知A=450，B=750，a=30cm，解三角形.解：例2.在中，已知，求.解：由得∵在中,∴A为锐角例3、ΔABC中,c=,A=450a=2,求b和B、C.解：∵=∴sinC==sinC==∴C=600∴当C=600时，B=750或C=1200b===+1∴当C=1200时，B=150，b===-1∴b=+1,B=750，C=600或b=-1，B=150，C=1200已知两边和其中一边对角解斜三角形CCABAbabaaa=bsinA一解bsinA

5、中，A:B:C=1:2:3,求a:b:c练习1：：23．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC且sin2A＝sin2B＋sin2C，判断△ABC的形状．例4.在△ABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：证明：在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得两式相除得:例6.在△ABC中，c=,C=30°,求a+b的最大值。解：因为所以A+B=180°－C=150°，从而所以a+b的最大值是1．在△ABC中，a=100，c=50，A=45°，则C=。30°2．在△ABC中，已知a=5，B=120°，C=15°,则此三角形最大边的长为。练习：1.正弦定理：在一个三角形中，各边

6、和它所对角的正弦的比相等.即：(其中R是外接圆的半径)