中考专题：代数综合问题解决方法

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1、中考专题：代数综合问题的思考方法【问题概述】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键.在许多问题屮，代数和儿何问题交织在一起，就要沟通这些知识Z间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口.通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)建

2、立思维程序是解综合题的核心.*审题(读题、断句、找关键)；*先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)*由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合;*观察一一挖掘题目结构特征；联想一一联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破。(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证.【典型例题】类型一、方程与不等式综合(方程、不等式思想解决问题)2x-3y=2-3a93x-4y=2。+1.求a的取值范围.【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题.【答案与解析】解：严-3尸2-3。①[3x-4y=2^+1②①X3—②X

3、2得：y=13a—4①X4—②X3得：x=18a-5由题意令x>0,y>0得:18a—5>0,13ci—4<0.5—

4、法1：待定系数法设原式=[x-(m-2)]2=x2-2(m-2)x+m'-4m+4所以m2+2m+l=m2-4m+4,m——2解法2：配方法(代数式运算、因式分解)原式=x2—2(m—2)x4-(m—2)2-(m—2)2+m2+2m+l.=[x-(m~2)]2+6m-3,6m-3=0,m=—；2解法3：判别式法(一元二次方程)因为是完全平方式，所以方程+-2(m-2)x4-m24-2m4-l=0有两等根，A=[-2(m-2)]2-4(m"+2m+1)=0,m=-；2解法4：函数思想方法因为是完全平方式，所以令j=x2-2(m-2)x++2m+1,4ac—b?所以抛物线顶点在x轴上，=0,4

5、a4(m2+2m+1)-4(m-2)21=0,om-3=()fm=—.42【总结升华】对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题.解决问题的角度不同，但结果是相同的.类型二、方程与函数综合V3.请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题：⑴分别写出/,,/2中变量y随x变化而变化的情况；(2)写岀一个二元一次方程组，使它满足图象屮的条件.【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题.本题考查了一次函2.m为何值时，x2-2(/7?-2)x+m24-2m4-1是完全平方式?【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因

6、为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义.因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解.【答案与解析】解：解法1：待定系数法设原式=[x-(m-2)]2=x2-2(m-2)x+m'-4m+4所以m2+2m+l=m2-4m+4,m——2解法2：配方法(代数式运算、因式分解)原式=x2—2(m—2)x4-(m—2)2-(m—2)2+m2+2m+l.=[x-(m~2)]2+6m-3,6m-3=0,m=—；2解法3：判别式法(一元二次方程)因为是完全平方式，所以方程+-2(m-2)x4-m24-2m4-l=0有两等根，A=[-2

7、(m-2)]2-4(m"+2m+1)=0,m=-；2解法4：函数思想方法因为是完全平方式，所以令j=x2-2(m-2)x++2m+1,4ac—b?所以抛物线顶点在x轴上，=0,4a4(m2+2m+1)-4(m-2)21=0,om-3=()fm=—.42【总结升华】对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题.解决问题的角度不同，但结果是相同的.类