中考数学专题讲座-代数、三角、几何综合问题

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1、中考数学专题讲座代数、三角、几何综合问题概述：代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题．典型例题精析例1．有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm，如图1，将直尺的矩边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移如图2，设平移的长度为xcm（0≤x≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中

2、阴影部分）的面积为Scm2．（1）当x=0时（如图），S=________；当x=10时，S=___________； （2）当0

3、DG=x2，S△BEF=（10-x）2，而S△ABC=×12×6=36，∴S=36-x2-（10-x）2=-x2+10x-14，S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11，∴当x=5（4<5<6）时，S最大值=11．②当6≤x<10时（如图6），BD=BG=12-x，BE=EF=10-x，S=（12-x+10-x）×2=22-2x，S随x的增大而减小，所以S≤10．由①、②可得，当4

4、2于B、C两点，延长DO2交⊙O2于E，交BA的延长线于F，BO2交AD于G，连结AG．（1）求证：∠BGD=∠C；（2）若∠DO2C=45°，求证：AD=AF；（3）若BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根，求BD、BF的长．解析：（1）∵BC⊥AD于D，∴∠BDA=∠CDA=90°，∴AB、AC分别为⊙O1、⊙O2的直径．∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，∴∠BGD=∠C．（2）∵∠DO2C=45°，∴∠ABD=45°，∵O2D=O2C，∴∠

5、C=∠O2DC=（180°-∠DO2C）=67.5°，∴∠4=22.5°，∵∠O2DC=∠ABD+∠F，∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF．（3）∵BF=6CD，∴设CD=k，则BF=6k．连结AE，则AE⊥AD，∴AE∥BC，∴∴AE·BF=BD·AF．又∵在△AO2E和△DO2C中，AO2=DO2∠AO2E=∠DO2C，O2E=O2C，∴△AO2E≌△DO2C，∴AE=CD=k，∴6k2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）．∵∠BO2A=90°，O2A=O2C，∴BC=AB．∴6k2=（BC-k）（6k-BC）．

6、∴BC2-7kBC+12k2=0，解得：BC=3k或BC=4k．当BC=3k，BD=2k．∵BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根．∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2．整理，得：4m2-12m+29=0．∵△=（-12）2-4×4×29=-320<0，此方程无实数根．∴BC=3k（舍）．当BC=4k时，BD=3k．∴3k+6k=4m+2，18k2=4m2+8，整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4，∴原方程可化为x2-18x+72=0，解得：x1=6

7、，x2=12，∴BD=6，BF=12．中考样题训练1．已知抛物线y=-x2+（k+1）x+3，当x<1时，y随着x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小．（1）求k的值及抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线；（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标；（4）设点G（0，m）是y轴上的动点．①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线？并求出此时直线BG的解析式．②若直线BG与⊙O相交，且另一个交点为D，当m满足

8、什么条件时，点D在x轴的下方？2．如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．（1）若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；（2）若⊙A的位置大