中考数学试卷分类汇编 代数几何综合

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1、代数几何综合1、(2013年潍坊市压轴题)如图,抛物线关于直线对称,与坐标轴交于三点,且,点在抛物线上,直线是一次函数的图象,点是坐标原点.(1)求抛物线的解析式;(2)若直线平分四边形的面积,求的值.(3)把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线与直线交于两点,问在轴正半轴上是否存在一定点,使得不论取何值,直线与总是关于轴对称?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.答案:(1)因为抛物线关于直线x=1对称,AB=4,所以A(-1,0),B(3,0),由点D(2,1.5)在抛物线上,所以,所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又,即b=-2

2、a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.(2)由(1)知,令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,令kx-2=1.5,得l与CD的交点F(),令kx-2=0,得l与x轴的交点E(),根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得:OE+CF=DF+BE,即:(3)由(1)知所以把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为假设在y轴上存在一点P(0,t),t>0,使直线PM与PN关于y轴对称,过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1,垂足分别为M1、N1,因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1,所以,…

3、……………(1)不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧,因为P点在y轴正半轴上,则(1)式变为,又yM=kxM-2,yN=kxN-2,所以(t+2)(xM+xN)=2kxMxN,……(2)把y=kx-2(k≠0)代入中,整理得x2+2kx-4=0,所以xM+xN=-2k,xMxN=-4,代入(2)得t=2,符合条件,故在y轴上存在一点P(0,2),使直线PM与PN总是关于y轴对称.考点:本题是一道与二次函数相关的压轴题,综合考查了考查了二次函数解析式的确定,函数图象交点及图形面积的求法,三角形的相似,函数图象的平移,一元二次方程的解法等知识,难度较大.点

4、评:本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题,能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识,解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进,既考查了知识掌握,也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。2、(绵阳市2013年)ABCDOxyl如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,-2),交x轴于A、B两点,其中A(-1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D。(1)求二次函数的解析式和B的坐标;(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与

5、以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。解:(1)①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为(0,-2),c=-2,-,b=0,点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2的图象与x轴的交点,a-2=0,a=2.二次函数的解析式为y=2x2-2;②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称,点B的坐标为(1,0);(2)∠BOC=∠PDB=90º,点P在直线x=m上,设点

6、P的坐标为(m,p),OB=1,OC=2,DB=m-1,DP=

7、p

8、,①当△BOC∽△PDB时,,,p=或p=,点P的坐标为(m,)或(m,);②当△BOC∽△BDP时,,,p=2m-2或p=2-2m,点P的坐标为(m,2m-2)或(m,2-2m);综上所述点P的坐标为(m,)、(m,)、(m,2m-2)或(m,2-2m);(3)不存在满足条件的点Q。点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上,令点Q的坐标为(x,2x2-2),x>1,过点Q作QE⊥直线l,垂足为E,△BPQ为等腰直角三角形,PB=PQ,∠PEQ=∠PDB,∠EPQ=∠DBP,△PEQ≌△BDP,Q

9、E=PD,PE=BD,①当P的坐标为(m,)时,m-x=,m=0m=12x2-2-=m-1,x=x=1与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;②当P的坐标为(m,)时,x-m=m=-m=12x2-2-=m-1,x=-x=1与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;③当P的坐标为(m,2m-2)时,m-x=2m-2m=m=12x2-2-(2m-2)=m-1,x=-x=1与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;④当P的坐标为(m,2-2m)时,x-m=2m-2m=m=12x2-2-(2-2m)=m-1x=-x=1与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;综上所述,不存在满足条件的

10、点Q。3、

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