中考数学专题指导13：特殊四边形问题

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1、中考数学专题指导第十三讲特殊四边形形问题（一）考点解析：平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形，是近年中考的热点问题之一,掌握它们的概念，了解它们之间的关系，掌握有关的性质和判定.通常是通过添加适当的辅助线转化为三角形来解决数学问题和现实问题，注重考查同学们的观察、猜想、推理、探究等活动的能力以及对知识的理解能力.突显出要把平行四边形转化为三角形来解决，把复杂的图形分解为线段相等或平行等基本图形，运用函数、列方程求解.（二）考点训练考点1:特殊四边形与函数的联系【典型例题】：（2017山东临沂

2、）如图，在平面肓角坐标系中，反比例函数y=—（xX>0）的图象与边长是6的正方形0ABC的两边AB,BC分别相交于M,N两点，△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，贝ljPM+PN的最小值是（）【分析】由正方形0ABC的边长是6,得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6,求得M（6,上），N（K6）,根据三角形的面积列方程得到M（6,4）,N（4,6）,66作M关于x轴的对称点M',连接NM'交x轴于P,则NM'的长二PM+PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：・・•正方形0ABC的边长

3、是6,・・・点M的横坐标和点N的纵坐标为6,AM（6,上），N（上，6）,66・・.BN=6-2,BM二6-竺，66•••△OMN的面积为10,・・.6X6-丄X6X±-J-x6X±-丄><(6-上)2=10,262626Ak=24,AM(6,4),N(4,6),作M关于x轴的对称点,连接NM‘交x轴于P,则NM'的长二PM+PN的最小值，TAM二AM'=4,ABM7二10,BN二2,・・曲=VbI72+BN2=V102+22=2*^26，故选C・Xf【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义

4、，轴对称-最小距离问题,勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键.【变式训练】：（2017湖南邵阳）如图所示，顶点为（寺，-

5、）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2,0）.（1）求抛物线的解析式；（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y二x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=—（k>0）图象上一点，若以点A,B,C,D为顶点的四边形是菱形，求k的值.备用妄【分析】(1)设抛物线方程为顶点式y=a(x-

6、)2-

7、,将点M的坐标代入

8、求a的值即可；(2)设直线y二x+1与y轴交于点G,易求G(0,1).则直角AAa；是等腰直角三角形ZAG0=45°•点C是直线y=x+l上一点(处于x轴下方)，而k>0,所以反比例函数y=-(k>0)图象位于点一、三象限.故点D只能在第一、三象限，x因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：①此菱形以AB为边且AC也为边，②此菱形以AB为对角线，利用点的坐标与图形的性质，勾股定理，菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得k的值即可.【解答】解：(1)依题意可设抛物线方程为顶点式y=a(X-寺)2

9、■鲁(aHO),1q将点M(2,0)代入可得:a(2-y)2-才0,解得a=l.故抛物线的解析式为：y=(x-

10、)2-(2)由(1)知,抛物线的解析式为:y二(x-

11、)2-

12、.则对称轴为x二*,.••点A与点M(2,0)关于直线x二寺对称，AA(1,0).令x=0,则y二・2,AB(0,-2).在直角ZXOAB中,021,0B=2,则AB二妁设直线y二x+1与y轴交于点G,易求G（0,1）.・・・直角AAOC是等腰直角三角形，AZAG0=45°・•・•点C是直线y二x+1上一点（处于x轴下方），而

13、k>0,所以反比例函数y=—（kx>0）图象位于点一、三象限.故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：①此菱形以AB为边口AC也为边，如图1所示，过点D作DN丄y轴于点N,在直角△BDN中，VZDBN=ZAG0=45°,・・・D（・字，・字・2）,・・•点D在反比例函数迸（k>0）图象上,①此菱形以AB为对角线，如图2,作AB的垂直平分线CD交直线y二x+1于点C,交反比例函数y二上（k>0）的图象于点D.再分别过点D、B作DE丄x轴于点F,BE丄y轴，DE与BE相较于点E

14、.在直角ABDE中，同①可证ZAGO二ZDBO二ZBDE二45°,ABE=DE.可设点D的坐标为（x,x-2）.VBE2+DE2=BD2,/.BD二V2BE=,r2x・・・•四边形ABCD是菱形，・・・AD二BD二何・・•・在直角AADF中,AD2=AF2+DF2,即（近x）=（x+1）2+（x-2）2:,解得x=

15、,R1・••点D的坐标是（―,―）.•••点D在反比例函数y=—(k>0)图象上,・・・号综上所述，k的值是导烦或#・y图2【点评】木题考查了二次函数综合题，需要掌握