中考数学教学指导：特殊图形添加辅助线问题

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1、特殊图形添加辅助线问题在求解几何问题吋，常常需要添加辅助线，构造出特殊的图形，才能使问题顺利解决.添加辅助线的方法多种多样，这就需要我们开阔视野，打开思路，多方位地寻找添加辅助线的方法，以培养发散思维，提高创新思维能力.例1如图1所示，已知ZA=60°,ZB=ZD=90°,AB=4,AD=5,求竺CD方法1添加辅助线，构造直角三角形求解解法1如图2所示，延长AB.DC相交于E—60。，ZD=90°・・・ZE=30°又VAB=4,AD=5:.A£=10,BE=6,DE=5羽在R2CEB屮,ZE=30°ABC=2a/3

2、,CE=4羽:.CD=y/3••匹丰2CDV3图2评注若延长AD.BC相交于点E,求解方法同上，请读者自己完成.方法2添加辅助线，构造平行四边形求解.解法2如图3所示，作CE//AB,CF//AD,分别交AD.AB于点E、F,则四边形AFCE为平行四边形，于是，有AE=CF,CE=AF.D图3在RtNCFB中，设BF=x・・・ZCFB=60°AE=CF=2x,BC=•••AB=4•:CE=AF=4—x在RtNCED^V•・•ZDEC=60°4-xCD=T(4"x)又•••DE+AE=AD=54-x~T~+2x=5解

3、得x=2•••BC=2>/3,CD=73・BC2羽aCDV3评注若过点C作CE//AB,交AD于点E,过点B作BFHAD,交EC延长线于点F,求解方法同上.本题还可以有图4、图5作辅助线的方法，请同学们试着解一解.例2如图6,AD是VABC的高，ZBAC=45°,BD=3,CD=2.求AD的长.解法1构造正方形，应用勾股定理构造方程求解.将VACD沿4C翻转180°到VACF的位置，将VABD沿A3翻转180°到VABE的位置，分别延长EB、FC,交于点G.则由ABAC=45°,可知ZE4F=90。又ZE=ZF=9

4、0。,AE=AF=ADf故四边形AEGF是正方形.设AD=x,即正方形AEGF的边长为x,则CG=x-2,BG=x—3.在RtNBCG中，由勾股定理，可得(x—2)2+(x—3)2=5?,解得兀=6(负值舍去),即AD的长是6.解法2应用三角形的面枳建立方程求解.设AD=x,则AB=Vx2+32,AC=y]x2+225作BE丄AC于点E,则BE=ABsin45°=—x

5、x=6,即AQ的长为6.解法3构造相似三角形，利用相似三角形的性质建立方程求解.方法1如图7,则ZE=45°E则AB=a/x2+32,BE=3+x.y/x2+32_5…3+xVx2+32解得x=6即AD的长为6.图8方法2如图8,作ZABE=Zl=ZCAF,ZACF=Z2=ZBAE则VBAE:NACF.BE_AE**AF~CF・・•ABED二Z2+ZABE=Zl+Z2二45°又ZDFC=Z1+ZACF二Zl+Z2=45。，BD=3,CD=2・・・DE=3,BE=3迥,DF=2,CF=2^2设AE=xt则AF=x+E

6、F=x+・3^2_x••x+_2近即x2+x-12=0解得x=3（负值已舍去）.AF=x+1=4・・・AD=AF+DF=6