中考数学培优4

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1、培优41.如图，抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,-§)三点.2(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.1.如图，己知抛物线y=ax2+bx+c(aHO)的对称轴为直线x二-1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线

2、的对称轴x二-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离Z和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x二・1上的一个动点，求使ABPC为直角三角形的点P的坐标.1.(2016•安顺)如图，抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,-§)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)设抛物线的解析

3、式为y=ax2+bx+c(aHO),VA(・1,0),B(5,0),C(0,-§)三点在抛物线上,2-b+c二025a+5b+c=0解得b二_2.・・・抛物线的解析式为：y=lx2-2x-22(2)・・・抛物线的解析式为：y=lx2-2x・巴,22・••其对称轴为直线x=-_匚二=2,连接BC,如图1所示，VB(5,0),C(0,・§),2・；设直线BC的解析式为y=kx+b(kHO),f5k+b=0解得・・・直线BC的解析式为y寺今当x=2时,y=l・§二■丄,22・・.P(2,-丄)；2(3)存在.•・•抛物线的对称轴为直

4、线x=2,C(0,・§),2AN](4,・§)；2②当点N在x轴上方时，如图，过点2作N2D丄x轴于点D,苍4AN2D与厶M2CO中，Vn2ad=Zcm2o

5、的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的対称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x=・1上的一个动点，求使ABPC为直角三角形的点P的坐亠二.2aa+b+c=O_1解之得：b二-2,Lc二3・••抛物线解析式为y=-x2-2x+3•・•对称轴为x=-1,且抛物线经过A(l,0),・••把B(・3,0)>C(0,3)分别代入直线y=

6、mx+n»得「3心n二3解之得：］沪1,E二3直线y=mx+n的解析式为y=x+3；(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=・1代入直线y=x+3得，y=2,AM(・1,2),即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小吋M的坐标为(-1,2)；(1)设P(-1,t),又TB(-3,0),C(0,3),ABC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t・3)2=t2-6t+10,①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2B

7、J:18+4+t2=t2・6t+10解

8、之得：匸・2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+『・6t+10二4+『解之得：匸4,③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2B

9、J:4+t2+t2-6t+10=18解之得：口二总垃辽，2_3_呵22'综上所述P的坐标为(・1,・2)或(・1,4)或(・1,3+佰)或―1,3_佰).22