中考数学教学指导：例谈几何证明问题的解题技巧

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1、例谈几何证明问题的解题技巧几何证明问题屮包含相似三角形和圆与直线的位置关系两大模块，它注重证明、强调过程、突出数形结合思想•解决这类问题具有一定的技巧性，笔者举例来探讨这类问题的解题技巧.一、构造经典直角三角形在直线和圆的位置关系问题屮，当直线和圆相交时，可根据半弦反、半径、弦心距构造直角三角形，则三边满足勾股定理，能使问题简化.例1已知圆O半径为3,从圆0外一点A引切线ABC,圆心0到AC的距离为2迥，AB=3,则切线AD的长是.AD图1思路剖析由半弦长、半径、弦心距构造出RtACEO,结合勾股定理求出半弦CE,再由切割线定理AD2=ABUAC即可解答.解如图1,作过点0作

2、0E丄BC,并交BC于E点，再连结0C.•••RtACEO中，CE2=y/0C2-0E2=1,AAC=AB+BC=5.又由切割线定理，nAD2=ABiAC,即AD=yjABTAC=y/T5,故答案应填二、由弦巧用定理直线和圆相交时便出现弦，而弦的中点又可构造直角三角形，转化为垂径定理解三角形,再结合图形中各条弦的位置关系，运用相交弦定理加以解决.例2如图2,AB.CD是半径为g的圆0的两条眩，它们相交于AB的中点P,2PD=-a,ZOAP=30°,则CP=.思路剖析由P是A3的中点，可得0P丄AB,故可解得AP,再由相交弦定理APBP=CPDP,便可求得CP.解如图2,连结O

3、P.vP为的屮点，由垂径定理，得0P丄AB,•••T中,AP=OA.COs3^a,:.BP=AP=^-a.J32g又由相交弦定理，知AP・BP=CP・DP,即止q•止d=CP—a,得CP=-a,22389因此，答案为一G.8评注解这种题的首要是破解题目屮隐含信息一直角三角形，进而转化为解三角形的简单问题，再结合相交弦定理，问题便可迎刃而解.类似的有高考题：如图3,己知AB,BC是圆O的两条弦，A0丄BC,AB=^3fBC=2迥,则圆O的半径等于•（答案丄）9三、解三角形定角度平面几何中，求解角度问题一般有两类:一是解三角形;二是圆中角度问题•可由圆周角定理及其推论转化到基本儿

4、何图形屮，如三角形，进而解三角形即可.例3如图4,AB是半径为3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA、DC的延长线交于点P,若PA二4,PC=5,则ZCBD=.思路剖析由圆周角定理，知ZDBC=-ZDOC,因而转化为求ZDOC，即解'COD.2已知OC=OD,此时只须求出CD即可，而PC=5,只须求出，观察图形，由割线定理APBP=CP・DP,即可解答.解如图4,连结OC、OD.由割线定理，知APBP二CPDP,即DP=^^=^=8,得CD=DP-CP=3.CP5•/ACOD中，OC=OD=CD=3,:.COD是等边三角形，/.ZDOC=60°,/.ZDBC=-Z£>OC=3

5、0°,故答案为30。.2评注对于圆中涉及角度问题，可由圆周角定理及其推论，把难以入手的角度问题转化为解三角形;而三角形则通过边长关系或者角度问题加以讨论，逐步转化，再适当地依题意运用割线定理便可解决问题.四、识穿射影定理根据新课标要求，在初等几何中，对于典型的“母子三角形”，耍求会证明并运用射影定理及其性质，因此，综合应用可快捷解读题意，简便答题.例4如图5,在圆O中，直径与弦CD垂直，EF丄BC,垂足为E,若4B=6,CFCB=5,则AE=.思路剖析R1QCEB中，EF丄BC,则由射影定理，有CE2=CF・CB,即可求得CE,再结合相交弦定理，便可得出答案.解-CD丄A3,

6、且EF丄BC,・・・CE?=CF・CB,即CE二亦.又由相交弦定理，得AEBE二CEDE,即AE・(6—AE)=5,得AE=或5.VAE

7、析ARPA由弦切角定理,知ZPAB=曲,从而得△咖sAPCA,则必二pc而切割线定理AP2=BPCP可得3P长度，则问题即可简便地得以解决.解如图6,由切割线定理,知AP2=bPCP,即62=BP(BP+9),得BP=-12(舍去）或BP=3gPA与圆相切，由弦切角定理，得ZPAB=ZPCA,APAB-PCA,nlABPA—8x6,则——=——，/.AB==4,因此，答案为4.ACPC12评注当出现切线时，考虑弦切角定角度问题，从而结合两个三角形相似，运用相似比求得对应边长再依据图形表征，简单明了地