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《例谈用基本量方法证明平面几何问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例谈用基本量方法证明平面几何问题在一个问题系统中,存在着n个量，使其余各量都可以用这n个量来表示,而这个n个量中的任何一个都不能用其它n-1个量来表示，我们就称这n个量为基本量。例如:三角形有三个基本量，直角三角形、等腰三角形均有两个基本量，正三角形仅有一个基本量，即多一个附加条件可以减少一个基本量;各类四边形的基本量个数如下表：四边形的形状一般四边形梯形等腰梯形平行四边形矩形菱形正方形基本量的个数5433221在解题时，把问题转化为关于“基本量”的有关问题并加以解决的方法就称为基本量方法。基本量方法在解题中有着广泛的应用，本文仅介绍如何用基本
2、量方法证明平面几何问题。例1,已矢口:ZXABC中/AB=AC/ZA=100º,ZB的平分线交AC于D。（见图1）图1图2求证:AD+BD=BCo分析:AABC中,AB=AC,ZA=100º,故本题仅有一个基本量，由图j.可知，在AD、BD、BC中选择BD为基本量比较合理，即AD、BC为非基本量，一定可以用BD来表示。证明:VAADB44,ZA=10Oº,ZABD=ZABC=20º。TABDC44,ZBDC=120º,ZC=40º,。•••,AAD+BD=BC成立。例2,设P为正AAB
3、C的外接圆的弧BC上的任意一点。求证:①AP二PB+PC;②AP2二AB2+PBPC。（见图2）分析:如图2,可知AB、AP的长度确定后，这个图形就基本确定，故本题有两个基本量,不妨取AB、AP为基本量'即PB、PC为非基本量，令AB=a/AP=b,PB=xl,PC=x2,则只须证明xl+x2=b,xlx2=b2-a2;所以只须把xl+x2、xlx2用a、b表示出来'由此可联想到构造一个以xl、x2为根的一元二次方程。证明:设AB=a,AP=b/PB=xl,PC=x乙ZABP中,AB2=PB2+PA2-2PBPAcosZAPBoa2=xl2+
4、b2-2xlbcos60º.xl2-bxl+b2-a2=0AAPC中‘同理可得x22-bx2+b2-a2=0o•••xl、x2是关于x的方程x2-bx+b2-a2=0的两根。.xl+x2=b,xlx2=b2-a2,即AP二PB+PC。AP2=AB2+PBPC成立。例3,（第26届奥林匹克竞赛题）一个圆的圆心P在顶点共圆的四边形ABCD的AB边上，其它三边与该圆都相切'求证AD+BC二AB。分析:由题可知，当AB〃CD时,四边形ABCD为等腰梯形，且BC、CD、DA均和圆P相切，此时本题至多有两个基本量，而今A和CD不一定平行，故本
5、题至多有三个基本量，可选取ZA、ZB及P的半径为基本量。证明:如图3,设BC、CD、DA分别与圆P相切于E、F、G点，连接PE、PF、PG、PC、PD,令ZA=a,ZB=B,PE=PF=PG=afE二PF二PG二a，则ZGDP=-,ZPCE=-oRtAAPG中,AP二,AG=actga0RtABPE中,PB=,BE=actg^。RtADGP中,DG二PGctgZCDP二actg(-)=atg。RtACEP中,CE=PFctgZPCE=actg(-)=atg。•'•AB二AP+PB二+AD+CB=AG+GD+CE+EB=actga+atg+atg
6、+actgP=a(ctga+tg)+a(tgB+tg)=a(+)+a(+)
