用基本量方法破解平面几何问题

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1、中学数学研究2010年第1期用基本量方法破解平面几何问题南京晓庄学院数学系062班(211171)吴涛若在一个问题系统中，存在着／'／个量，使定理可得=，即BC=sin(a其余量都可以用这个量来表示，而这个量中的任何一个量不能用其它的一1个量表示，+卢)，因为CA+AI=BC，所以sina35。[sinp+则我们就称这个量为这个问题系统中的基sin(卢+35。)]lsin(口+J9)，即sin~sinp+本量．例如，一般的三角形有三个基本量，直角sinasin(~'+35。)=sin(口+~)s

2、in35。，即o。s(“一三角形、等腰三角形有两个基本量，等腰直角三)一cos(+)+COS(a—一35。)一COS(a+角形、正三角形仅有一个基本量，即多一个附加+35。)=∞s(a+一35。)一cos(a++35。)，即条件可以减少一个基本量；又如各类四边形的COS(口一)+cos(a一一35。)=cos20。+cos55。，基本量的个数如下表：即2cos(口一一17．5。)cosl7．5。=2cos17．5。四边形一般四梯形等腰平行矩形菱形的形状边形梯形四边形正方形cos37．5。，即CO

3、s(口一口一17．5。)=cos37．5。，所基本量以COS(72．5。～2a)：c~xs37．5。，注意到2a<5433221的个数55，所以=2a：35。．在解题时，把问题转化为关于“基本量”的例2(第26届IMO试题)一个圆的圆心有关问题并加以解决的方法就称为基本量方0在顶点共圆的四边形ABCD的AB边上，其法．三角法是解决平面几何问题的重要方法之它三边与该圆都相切，求证：AB=AD+BC．一，若在运用正弦定理、余弦定理时再注意结合分析：易见，当AB∥CD时，四边形ABCD运用基本量方法去

4、思考问题，则通常能如虎添为等腰梯形，且BC、CD、DA都与圆。相切，翼，直达解题目标．此时本问题至多有两个基本量，而今AB与CD例l如图1，已知AABCC不一定平行，故本问题至多有三个基本量．可选中，J是AABC的内心，A=择以A、B及圆0的半径为基本量．70。，且CA+AI=BC，求B．证明：如图2，设圆D分析：由于AABC已满足A圆1B。与四边形的其它边两个附加条件，因此AABC仅有一个基本量，相切于点E、F、G，连注意到等式CA+AI=BC中的线段分别在AoB结0lE、OC、OF、OD、A

5、AIC和ABIC中，因此可选择这两个三角形图2OG；设圆0的半径为的公共边CJ为基本量，再把CA+AI=BC翻OG=0F=OE=口，A=a，B=口，由于四译成关于B的方程，然后解方程可得B的边形ABCD的四顶点共圆，所以ECO=大小．解：设CI=d，B=2a，C=2，则口十~FCO=号一号，GD0=脚=詈一粤，卢：90。一35。=55。，／xAIC中，由正弦定理可得Rt△AOG中，A0=acacti，AG=acx~ta，dRt／xBOE中，B0=acSc，BE=acot~，==sin／?一sin

6、(p+35。、一sin35。，’即CA+。An，=一DRt／XDOG中，DG=acot~GDO=atan等，[SinJ9十sin(卢+35。)]，ABIC．中，由正弦·33·2010年第1期中学数学研究R￡△0中，cE=acotECO=atan，所(2)当点0、X、A三点共线时，=以AB=AO十OB=a(csc口+csc)，AD+BCcosA显然成立．又因为r=R(cosA+cosB+=AG+GD+BE+Ec=口(c。ta+tan譬+cosC一1)，即古=cosA+cosB+cosC一1，要证c

7、otp+tan詈)=a(cota+tan詈)+口(cotp+明素≥会，只须证明cosA+cosB+cosC一1>~cosA，只须证明cosB+COSC≥1．tan)口(Sln+)+口(+口Sln口Sln①当60。≥B≥C时，cosB十cosC≥2cosB)=n(+cSc)，．。AB=AD+BC．．≥2o0S60。≥1．②当90。>B>60。时，cosB>0，1—2cosB>0，cosB+cOsC=cosB+co6(180。一评注：当选定基本量以后，等式左右两边必A—B)≥cosB+COS(180

8、。一2B)=cosB—可用基本量a、表示之，原问题即化归为关c0S2B=1+cosB(1—2cosB)>1．故有cOSB+于的三角恒等式的证明问题，极大地降低了问题难度．COSc≥1恒成立．所以有专≥恒成立．例3(2OO4年韩国国家队选拔考试题)如评注：当问题转化为“在AABC中，当A≥图3，锐角AABC中的外接圆半径为R，内切圆B≥C时，证明cosB+cosC≥1”后，问题已显的半径为r，A是三个内角中的最大的角，记得比较简单了，注意到不等式的等号成立条件M是BC的中点，X是在点B、C分别作为